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课堂材料：16-3.pptx（第十六章 §3 二元函数的连续性）

二元函数的连续性

1. 相对于定义域的连续性

1.1 点连续的定义

Definition

设二元函数 $f$ 定义在 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上，$P_0=(x_0,y_0)\in D$。若对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得

$$\begin{array}{rl}P& \in U(P_0;\delta )\cap D\\ & ⟹|f(P)-f(P_0)|<\epsilon ,\end{array}$$

则称 $f$ 在点 $P_0$ 处相对于集合 $D$ 连续。

若 $f$ 在 $D$ 的每一点都相对于 $D$ 连续，则称 $f$ 在 $D$ 上连续。

“相对于 $D$”不能省略其含义

当 $P_0$ 位于定义域边界时，动点只能从 $D$ 内趋近 $P_0$；连续性并不要求考察定义域外的方向。因此，同一函数在不同限制集合上可能表现出不同的连续性。

1.2 与函数极限的关系

若 $P_0$ 是 $D$ 的聚点，则

$$f\text{ 在 }{P}_0\text{ 连续}⟺\underset{\begin{array}{c}P\to P_0\\ P\in D\end{array}}{\lim }f(P)=f(P_0).$$

与上一节的极限相比，连续性同时要求：

1. $f(P_0)$ 有定义；
2. $P\to P_0$ 时函数极限存在；
3. 极限值等于函数在该点的取值。

若 $P_0$ 是 $D$ 的孤立点，则存在某个邻域使

$$U(P_0;\delta )\cap D=\{P_0\}.$$

此时连续性定义自动满足，所以任何定义在 $P_0$ 的函数都在该孤立点连续。

1.3 间断点与可去间断

Definition

若 $f$ 在 $P_0\in D$ 处不连续，则称 $P_0$ 为 $f$ 的间断点。

若

$$\underset{\begin{array}{c}P\to P_0\\ P\in D\end{array}}{\lim }f(P)=A$$

存在，但 $f(P_0)$ 未定义或 $f(P_0)\ne A$，则 $P_0$ 是可去间断点。只需重新定义

$$\tilde{f}(P_0)=A$$

即可把间断补成连续。

2. 限制在曲线上的连续性

2.1 相对连续不等于平面上的连续

考虑

$$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2},(x,y)\ne (0,0),$$

并研究它在直线

$$E_m=\{(x,y):y=mx\}$$

上的限制。对 $x\ne 0$，

$$f(x,mx)=\frac{m}{1+m^2}.$$

若在原点定义

$$f(0,0)=\frac{m}{1+m^2},$$

那么限制函数 $f{|}_{E_m}$ 在原点相对于直线 $E_m$ 连续。但是不同斜率 $m$ 给出不同的限制极限，因此不存在一个统一的 $f(0,0)$ 能让它在整个平面上连续。

这一例子说明：沿某一条路径连续，只能说明函数在该路径对应的子集上连续，不能推出二维意义下的连续。

2.2 含参数幂次的连续性判断

设

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{\alpha }}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0),\end{array}\alpha >0.$$

作极坐标变换

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,$$

则

$$\left|f(x,y)\right|=r^{\alpha -2}|\cos \theta {|}^{\alpha }\le r^{\alpha -2}.$$

因此：

$$\{\begin{array}{ll}\alpha >2,& |f(x,y)|\le r^{\alpha -2}\to 0,\text{故在原点连续};\\ \alpha =2,& f(r,0)=1,f(0,r)=0,\text{故不连续};\\ 0<\alpha <2,& f(r,0)=r^{\alpha -2}\text{无界，故不连续}.\end{array}$$

Note

若 $\alpha$ 不是整数，$x^{\alpha }$ 在 $x<0$ 时未必是实数。严格处理时应相应限制定义域，或把分子写成 $|x{|}^{\alpha }$；连续性判别的阶数结论不变。

3. 全增量与连续性

令

$$\Delta x=x-x_0,\Delta y=y-y_0.$$

函数在 $P_0=(x_0,y_0)$ 处的全增量为

$$\begin{array}{rl}\Delta z& =\Delta f(x_0,y_0)\\ & =f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0).\end{array}$$

于是连续性的增量表述为

$$f\text{ 在 }{P}_0\text{ 连续}⟺\underset{\begin{array}{c}(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)\\ (x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\in D\end{array}}{\lim }\Delta z=0.$$

该形式强调：自变量的二维总变化趋于零时，函数的总变化也必须趋于零。

4. 偏增量与偏连续性

4.1 两个偏增量

固定 $y=y_0$，只改变 $x$：

$${\Delta }_{x}f=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0).$$

固定 $x=x_0$，只改变 $y$：

$${\Delta }_{y}f=f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0).$$

一般而言，

$$\Delta f\ne {\Delta }_{x}f+{\Delta }_{y}f,$$

因为右侧两个偏增量都从 $(x_0,y_0)$ 出发，而全增量同时改变两个变量，可能包含变量之间的交互效应。

4.2 偏连续

若

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }{\Delta }_{x}f=0,$$

则称 $f$ 在 $P_0$ 处关于 $x$ 连续；若

$$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }{\Delta }_{y}f=0,$$

则称 $f$ 在 $P_0$ 处关于 $y$ 连续。

对定义域内点，总连续必然推出两个方向的偏连续，因为坐标方向只是所有趋近方式中的两种特殊路径：

$$\text{总连续}⟹\text{分别关于 }x,y\text{ 连续}.$$

逆命题不成立。

4.3 反例：偏连续不能推出总连续

设

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& xy\ne 0,\\ 0,& xy=0.\end{array}$$

在原点沿两条坐标轴，

$$f(x,0)=0,f(0,y)=0,$$

所以 $f$ 分别关于 $x$、$y$ 连续。但沿直线 $y=x$ 且 $x\ne 0$，

$$f(x,x)=1,$$

故

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)\ne f(0,0).$$

它在原点不连续。

与累次极限的共同逻辑

偏连续只检验坐标方向，累次极限也按坐标方向依次趋近；二维连续要求对所有路径统一控制，因此条件严格得多。

5. 连续函数的基本性质

二元连续函数在一点附近具有与一元连续函数相同的局部性质。

5.1 局部有界性

若 $f$ 在 $P_0$ 连续，则存在 $\delta >0$ 与 $M>0$，使得

$$P\in U(P_0;\delta )\cap D⟹|f(P)|\le M.$$

证明时可在连续性定义中取 $\epsilon =1$，得到

$$|f(P)|\le |f(P_0)|+1.$$

5.2 局部保号性

若 $f$ 在 $P_0$ 连续且 $f(P_0)>0$，则存在 $\delta >0$，使 $P$ 充分接近 $P_0$ 时仍有 $f(P)>0$。取

$$\epsilon =\frac{f(P_0)}{2}$$

即可得到

$$f(P)>\frac{f(P_0)}{2}>0.$$

$f(P_0)<0$ 的情形同理。

5.3 四则运算

若 $f$、$g$ 在 $P_0$ 连续，则

$$f\pm g,fg$$

也在 $P_0$ 连续；若 $g(P_0)\ne 0$，则 $f/g$ 在 $P_0$ 连续。

6. 复合函数的连续性

6.1 定理 16.7

Theorem

设

$$\begin{array}{rl}u& =\phi (x,y),\\ v& =\psi (x,y),\end{array}$$

在 $P_0=(x_0,y_0)$ 处连续，并令

$$Q_0=(u_0,v_0)=(\phi (x_0,y_0),\psi (x_0,y_0)).$$

若二元函数 $f(u,v)$ 在 $Q_0$ 处连续，则复合函数

$$g(x,y)=f(\phi (x,y),\psi (x,y))$$

在 $P_0$ 处连续。

Proof idea

给定 $\epsilon >0$。由 $f$ 在 $Q_0$ 连续，存在 $\eta >0$，使

$$\rho (Q,Q_0)<\eta ⟹|f(Q)-f(Q_0)|<\epsilon .$$

又因 $\phi$、$\psi$ 在 $P_0$ 连续，可取 $\delta >0$，使 $\rho (P,P_0)<\delta$ 时

$$\begin{array}{rl}|\phi (P)-u_0|& <\frac{\eta }{\sqrt{2}},\\ |\psi (P)-v_0|& <\frac{\eta }{\sqrt{2}}.\end{array}$$

从而

$$\begin{array}{rl}\rho (Q,Q_0)& =\sqrt{|\phi (P)-u_0{|}^2+|\psi (P)-v_0{|}^2}\\ & <\eta .\end{array}$$

于是 $|g(P)-g(P_0)|<\epsilon$。

该证明的核心是两层控制：外层函数先给出允许的中间变量误差 $\eta$，内层函数再把自变量误差 $\delta$ 转化为这一 $\eta$。

7. 有界闭集上连续函数的性质

有界闭集在 ${\mathbb{R}}^2$ 中是紧集。连续函数在紧集上具有比局部连续更强的整体性质。

7.1 定理 16.8：有界性与最值定理

Theorem

设 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 是有界闭区域，$f$ 在 $D$ 上连续，则 $f$ 在 $D$ 上有界，并且能够取得最大值与最小值。

即存在 $P_{\max },P_{\min }\in D$，使得对任意 $P\in D$，

$$f(P_{\min })\le f(P)\le f(P_{\max }).$$

Proof idea：有界性

反设 $f$ 在 $D$ 上无界，则可选取点列 $\{P_n\}\subset D$，满足

$$|f(P_n)|>n.$$

由 $D$ 有界闭，$\{P_n\}$ 有收敛子列

$$P_{n_k}\to P_0\in D.$$

连续性给出 $f(P_{n_k})\to f(P_0)$，故该函数值子列有界，与 $|f(P_{n_k})|>n_k$ 矛盾。

Proof idea：最大值可达

设

$$M=\underset{P\in D}{\sup }f(P).$$

若 $f$ 从不取得 $M$，则

$$F(P)=\frac{1}{M-f(P)}$$

在 $D$ 上为正的连续函数。由刚证得的有界性，存在 $\eta >0$ 使 $F(P)\le \eta$，于是

$$f(P)\le M-\frac{1}{\eta }<M,$$

这与 $M$ 是上确界矛盾。故最大值必能取得；最小值同理。

7.2 定理 16.9：一致连续性定理

Definition

函数 $f$ 在 $D$ 上一致连续，是指对任意 $\epsilon >0$，存在只依赖于 $\epsilon$ 的 $\delta >0$，使对任意 $P,Q\in D$，

$$\rho (P,Q)<\delta ⟹|f(P)-f(Q)|<\epsilon .$$

普通逐点连续中的 $\delta$ 可以依赖于中心点；一致连续要求同一个 $\delta$ 对 $D$ 中所有点对都有效。

Theorem

若 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 是有界闭区域，$f$ 在 $D$ 上连续，则 $f$ 在 $D$ 上一致连续。

Proof idea

反设不一致连续，则存在 ${\epsilon }_0>0$ 和点列 $P_n,Q_n\in D$，使

$$\begin{array}{rl}\rho (P_n,Q_n)& <\frac{1}{n},\\ |f(P_n)-f(Q_n)|& \ge {\epsilon }_0.\end{array}$$

由紧性，$\{P_n\}$ 有子列 $P_{n_k}\to P_0\in D$。又因为

$$\rho (P_{n_k},Q_{n_k})\to 0,$$

所以 $Q_{n_k}\to P_0$。连续性给出

$$f(P_{n_k})\to f(P_0),f(Q_{n_k})\to f(P_0),$$

从而两者之差趋于 $0$，与其始终不小于 ${\epsilon }_0$ 矛盾。

7.3 定理 16.10：介值定理

Theorem

设 $D$ 是区域，$f$ 在 $D$ 上连续。若 $P_1,P_2\in D$ 且

$$f(P_1)<f(P_2),$$

则对任意

$$f(P_1)<\mu <f(P_2),$$

都存在 $P_0\in D$，使

$$f(P_0)=\mu .$$

Proof idea

令

$$F(P)=f(P)-\mu .$$

由于区域是连通的，可在 $D$ 内用有限条线段组成的折线连接 $P_1$ 与 $P_2$。沿这条折线，必有某一段的两个端点使 $F$ 异号。设该线段端点为

$$P^{\prime }=(x_1,y_1),P^{\prime \prime }=(x_2,y_2).$$

用 $t\in [0,1]$ 参数化：

$$\begin{array}{rl}x(t)& =x_1+t(x_2-x_1),\\ y(t)& =y_1+t(y_2-y_1),\\ G(t)& =F(x(t),y(t)).\end{array}$$

$G$ 是一元连续函数，并在端点异号。一元介值定理保证存在 $t_0\in (0,1)$ 使 $G(t_0)=0$，对应点 $P_0$ 满足 $f(P_0)=\mu$。

因此，连续函数把区域 $D$ 映射为实数轴上的区间：

$$f(D)\subset \mathbb{R}\text{是区间}.$$

7.4 关于集合条件的说明

• 有界性与最值定理、一致连续性定理只需要 $D$ 是有界闭集，不要求 $D$ 连通；
• 介值定理依赖连通性。若集合由两个互不相连的部分组成，函数可以在两部分分别取不同值而跳过中间值；
• “有界闭”负责提供紧性，“区域”负责提供连通性，二者承担的逻辑作用不同。

8. 一致收敛的应用例

设 $f$ 在矩形

$$D=[a,b]\times [c,d]$$

上连续，函数列 $\{{\phi }_k\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $\phi$，且

$${\phi }_k(x),\phi (x)\in [c,d].$$

定义

$$\begin{array}{rl}{F}_k(x)& =f(x,{\phi }_k(x)),\\ F(x)& =f(x,\phi (x)).\end{array}$$

由于 $D$ 是有界闭集，$f$ 在 $D$ 上一致连续。给定 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使

$$\rho (P,Q)<\delta ⟹|f(P)-f(Q)|<\epsilon .$$

又因 ${\phi }_k\to \phi$ 一致，存在 $N$，使 $k>N$ 时对所有 $x\in [a,b]$，

$$|{\phi }_k(x)-\phi (x)|<\delta .$$

取

$$P=(x,{\phi }_k(x)),Q=(x,\phi (x)),$$

则

$$\rho (P,Q)=|{\phi }_k(x)-\phi (x)|<\delta .$$

从而对所有 $x\in [a,b]$，

$$|F_k(x)-F(x)|=|f(x,{\phi }_k(x))-f(x,\phi (x))|<\epsilon .$$

故

$$F_k\to F\text{在 }[a,b]\text{ 上一致收敛}.$$

这里不能只使用 $f$ 的逐点连续，因为 $x$ 在整个区间中变化；紧集上的一致连续性提供了与 $x$ 无关的 $\delta$。