2026-09-20-Note

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课堂材料：16-2.pptx（第十六章 §2 二元函数的极限）

二元函数的极限

1. 二元极限 与 一元极限

一元函数中，$x\to x_0$ 只有从左、从右两类基本方向；二元函数中，动点 $P=(x,y)$ 可以沿直线、抛物线或更一般的曲线趋于 $P_0=(x_0,y_0)$。因此，二元函数极限必须对所有趋近路径给出同一个结果。

本节讨论两类极限：

• 重极限（double limit）：$(x,y)$ 以任意方式同时趋于 $(x_0,y_0)$；
• 累次极限（iterated limit）：先让一个变量趋于目标值，再让另一个变量趋于目标值。

二者是不同概念。除非附加适当条件，否则不存在一般性的互相推出关系。

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2. 二元函数极限的定义

2.1 $\epsilon$-$\delta$ 定义

Definition

设二元函数 $f$ 定义在 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上，$P_0$ 是 $D$ 的一个聚点，$A$ 是常数。若

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,$$

使得当

$$P\in U^{\circ }(P_0;\delta )\cap D$$

时，总有

$$|f(P)-A|<\epsilon ,$$

则称 $f$ 在 $D$ 上当 $P\to P_0$ 时以 $A$ 为极限，记作

$$\underset{\begin{array}{c}P\to P_0\\ P\in D\end{array}}{\lim }f(P)=A.$$

若不强调定义域 $D$，常简写为

$$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A.$$

取 $P=(x,y)$、$P_0=(x_0,y_0)$，则写作

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A.$$

Remark

• $P_0$ 只需是 $D$ 的聚点，不要求 $P_0\in D$；
• 极限只考察空心邻域，因此 $f(P_0)$ 是否有定义、取何值，都不影响极限；
• 圆邻域条件为 $$0<\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta ;$$
• 也可用方邻域 $$0<\max \{|x-x_0|,|y-y_0|\}<\delta .$$ 两种邻域定义给出等价的极限概念。

2.2 证明极限的基本模板

证明

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$$

时，目标是把误差估计为只依赖距离的量：

$$\begin{array}{rl}|f(x,y)-A|& \le C{r}^{\alpha },\\ r& =\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2},\alpha >0.\end{array}$$

随后取

$$\delta ={\left(\frac{\epsilon }{C}\right)}^{1/\alpha }$$

即可。若估计中含有在目标点附近有界的因子，先把讨论限制在 $r<1$ 或某个方邻域中。

常用估计：

$$|x-x_0|\le r,|y-y_0|\le r,$$ $$2|ab|\le a^2+b^2,|a^2-b^2|\le a^2+b^2.$$

2.3 例 1：多项式的直接估计

依定义验证

$$\underset{(x,y)\to (2,1)}{\lim }(x^2+xy+y^2)=7.$$

先分解误差：

$$\begin{array}{rl}|x^2+xy+y^2-7|& =|(x^2-4)+(xy-2)+(y^2-1)|\\ & \le |x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|.\end{array}$$

在方邻域 $|x-2|<1,|y-1|<1$ 内，

$$|x+y+2|<7,|y+3|<5,$$

从而

$$\begin{array}{rl}|x^2+xy+y^2-7|& <7|x-2|+5|y-1|\\ & <7(|x-2|+|y-1|).\end{array}$$

取

$$\delta =\min \left\{1,\frac{\epsilon }{14}\right\},$$

当 $|x-2|<\delta$、$|y-1|<\delta$ 时，上式小于 $14\delta \le \epsilon$。

2.4 例 2：夹逼估计与极坐标估计

设

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$$

证明

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=0.$$

Method 1

由

$$\begin{array}{rl}|xy|& \le \frac{x^2+y^2}{2},\\ \left|\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right|& \le 1.\end{array}$$

得

$$|f(x,y)|\le \frac{x^2+y^2}{2}.$$

令 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，取 $\delta =\sqrt{2\epsilon }$，则 $0<r<\delta$ 时有 $|f(x,y)|<\epsilon$。

Method 2

作极坐标变换 $x=r\cos \phi$、$y=r\sin \phi$，得到

$$f(x,y)=\frac{1}{4}{r}^2\sin 4\phi ,$$

故

$$|f(x,y)|\le \frac{1}{4}{r}^2.$$

该上界与方向角 $\phi$ 无关，因此 $r\to 0$ 时极限为 $0$。

易错点

不可把原式擅自改写为

$$|xy|\left|\frac{x^2-y^2}{2xy}\right|,$$

因为趋近原点时只保证 $x^2+y^2\ne 0$，并不保证 $xy\ne 0$。估计过程中不能引入比原定义域更强的非零条件。

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3. 限制原理与归结原则

3.1 定理 16.5：限制原理

Theorem

$$\underset{\begin{array}{c}P\to P_0\\ P\in D\end{array}}{\lim }f(P)=A$$

的充要条件是：对 $D$ 的任一子集 $E$，只要 $P_0$ 仍是 $E$ 的聚点，就有

$$\underset{\begin{array}{c}P\to P_0\\ P\in E\end{array}}{\lim }f(P)=A.$$

它说明：若重极限存在，则沿定义域内任意允许路径趋近 $P_0$ 时，所得极限都必须相同。

3.2 三个直接推论

Corollary 1

若存在 $E_1\subset D$，且 $P_0$ 是 $E_1$ 的聚点，使得限制在 $E_1$ 上的极限不存在，则 $D$ 上的重极限不存在。

Corollary 2

若存在 $E_1,E_2\subset D$，沿两者趋于 $P_0$ 时的极限分别为 $A_1,A_2$，且 $A_1\ne A_2$，则重极限不存在。

Corollary 3

$$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A$$

存在的充要条件是：对定义域中任意满足 $P_n\ne P_0$ 且 $P_n\to P_0$ 的点列，都有

$$f(P_n)\to A.$$

这就是二元函数版本的 Heine principle。注意“所有函数值数列都收敛”还不够，它们必须收敛到同一个 $A$。

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4. 如何否定重极限

4.1 标准策略

要证明极限不存在，只需寻找两条合法路径，使函数值趋于不同结果。常见路径按以下顺序尝试：

1. 坐标轴 $x=0$、$y=0$；
2. 直线族 $y=mx$；
3. 幂函数路径 $y=k{x}^p$；
4. 根据分子、分母的最低阶项，专门构造使二者同阶的路径。

只验证若干条路径得到相同极限，不能证明重极限存在；但找到一对结果不同的路径，就足以否定它。

4.2 例 3：直线族已经足够判否

设

$$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}.$$

沿 $y=mx$ 趋于原点，

$$f(x,mx)=\frac{m}{1+m^2}.$$

结果依赖斜率 $m$，故

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}$$

不存在。

4.3 例 4：所有直线路径相同仍不够

设

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<y<x^2,\\ 0,& \text{其余部分}.\end{array}$$

沿任意直线趋于原点时，最终都会离开狭窄区域 $0<y<x^2$，因而函数值趋于 $0$。但是沿抛物线

$$y=k{x}^2,0<k<1,$$

恒有 $f(x,y)=1$。因此重极限不存在。

逻辑方向

沿某两条路径极限不同 $\Rightarrow$ 重极限不存在。
沿所有直线路径极限相同 $\nRightarrow$ 重极限存在。

4.4 例 5：按“同阶”构造路径

证明

$$f(x,y)=\frac{xy}{x+y}$$

在 $(x,y)\to (0,0)$ 时不存在极限。

沿 $y=x$，

$$f(x,x)=\frac{x}{2}\to 0.$$

为了得到非零极限，可令分母比通常的一阶量更小。取

$$y=x^2-x,$$

则 $x+y=x^2\ne 0$（$x\ne 0$），并且

$$f(x,x^2-x)=\frac{x(x^2-x)}{x^2}=x-1\to -1.$$

两条路径所得极限不同，所以重极限不存在。

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5. 非正常极限

5.1 定义

Definition

若对任意 $M>0$，存在 $\delta >0$，使得

$$P\in U^{\circ }(P_0;\delta )\cap D$$

时都有

$$f(P)>M,$$

则记作

$$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=+\infty .$$

$-\infty$ 与 $\infty$ 型极限可类似定义。对 $-\infty$，要求 $f(P)<-M$；对 $\infty$，要求 $|f(P)|>M$。

5.2 例 6

设

$$f(x,y)=\frac{1}{2x^2+3y^2}.$$

因为

$$2x^2+3y^2<4(x^2+y^2),$$

所以给定 $M>0$，取

$$\delta =\frac{1}{2\sqrt{M}}.$$

当 $0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ 时，

$$2x^2+3y^2<\frac{1}{M},$$

于是

$$f(x,y)>M.$$

故

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{1}{2x^2+3y^2}=+\infty .$$

二元函数极限的唯一性、局部保号性与四则运算法则均与一元函数情形相仿。

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6. 累次极限

6.1 定义

设 $f(x,y)$ 的定义域为 $D$，它在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的投影分别为

$$X=\{x:(x,y)\in D\},Y=\{y:(x,y)\in D\}.$$

若对每个固定的 $y\in Y$、$y\ne y_0$，存在

$$\phi (y)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y),$$

并进一步存在

$$\underset{y\to y_0}{\lim }\phi (y)=L,$$

则称 $L$ 为“先对 $x$、后对 $y$”的累次极限，记作

$$\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)=L.$$

类似地，“先对 $y$、后对 $x$”的累次极限记作

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y).$$

读式顺序

极限符号从右向左执行：

$$\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$$

表示先令 $x\to x_0$，再令 $y\to y_0$。

6.2 三个典型反例

例子	重极限	两个累次极限	说明
$\frac{xy}{x^2+y^2}$	不存在	都存在且都为 $0$	累次极限相等不能推出重极限存在
$\frac{x^2+y^2+x-y}{x+y}$	不存在	分别为 $-1$ 与 $1$	累次极限不等可直接否定重极限
$x\sin \frac{1}{y}+y\sin \frac{1}{x}$	存在且为 $0$	两者都不存在	重极限存在不能推出累次极限存在

Example 7

对

$$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2},$$

固定 $y\ne 0$ 时

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=0,$$

故

$$\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=0.$$

交换次序同样得到 $0$，但由直线族 $y=mx$ 可知重极限不存在。

Example 8

设

$$f(x,y)=\frac{x^2+y^2+x-y}{x+y}.$$

则

$$\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=-1,\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y)=1.$$

两者不相等，因此重极限不存在。

Example 9

设

$$f(x,y)=x\sin \frac{1}{y}+y\sin \frac{1}{x}.$$

由

$$|f(x,y)|\le |x|+|y|$$

知重极限存在且等于 $0$。但是固定 $y\ne 0$ 后，$y\sin (1/x)$ 在 $x\to 0$ 时没有极限；另一顺序同理，所以两个累次极限都不存在。

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7. 重极限与累次极限的关系

7.1 定理 16.6

Theorem

若重极限

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$$

与某一个累次极限，例如

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y),$$

都存在，则二者必定相等。

Proof idea

设重极限为 $A$，并令

$$\phi (x)=\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y).$$

由重极限定义，$(x,y)$ 充分接近 $(x_0,y_0)$ 时

$$|f(x,y)-A|<\epsilon .$$

固定一个充分接近 $x_0$ 的 $x$，再令 $y\to y_0$，得到

$$|\phi (x)-A|\le \epsilon .$$

于是 $x\to x_0$ 时 $\phi (x)\to A$，即相应的累次极限等于 $A$。

7.2 推论

Corollary 1

若重极限与两个累次极限都存在，则三者相等。

Corollary 2

若两个累次极限都存在但不相等，则重极限不存在。

需要牢记：

• 重极限与一个累次极限都存在，只能推出它们相等，不能推出另一个累次极限存在；
• 两个累次极限相等，只是重极限存在的必要条件之一，不是充分条件；
• 两个累次极限不相等，是重极限不存在的充分条件。

7.3 二累次极限相等的另一充分条件

设 $f$ 在 $P_0=(x_0,y_0)$ 的某空心邻域内有定义，并满足：

1. 对每个 $y\ne y_0$，存在 $$\psi (y)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y);$$
2. 当 $y\to y_0$ 时，$f(x,y)$ 关于 $x$ 一致地存在极限 $$\phi (x)=\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y).$$

则两个累次极限都存在且相等：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)=\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y).$$

这里的“一致”是关键：存在同一个 $\delta >0$，使所有允许的 $x$ 在 $0<|y-y_0|<\delta$ 时都满足

$$|f(x,y)-\phi (x)|<\epsilon .$$

它允许把关于 $y$ 的控制传递给 $\psi (y)$，再用 Cauchy 准则证明外层极限存在。

与定理 16.6 的区别

上述一致性条件可以保证两个累次极限相等，但仍不能保证重极限存在。

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8. 二元函数极限的判定方法

遇到

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$$

时，可以按以下顺序处理：

1. 先代入观察：若表达式在目标点附近连续，直接用连续性与四则运算；
2. 尝试统一估计：令 $r=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}$，把误差压到 $C{r}^{\alpha }$；
3. 有角度结构时换极坐标：若结果能写成 $r^{\alpha }g(\phi )$ 且 $g$ 有界，则极限通常易证；
4. 怀疑不存在时试路径：坐标轴、$y=mx$、$y=k{x}^p$；
5. 直线路径失效时看阶数：让分子与分母的主导项同阶，主动构造曲线路径；
6. 累次极限只能辅助判断：不等即可判重极限不存在，相等则仍需继续证明。

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自测题

1. 为什么沿任意直线趋近得到同一值，仍不能证明重极限存在？
2. 若两个累次极限均存在且相等，重极限是否一定存在？
3. 若重极限和一个累次极限都存在，二者关系如何？
4. 构造路径时，为什么常希望分子与分母成为同阶无穷小？
5. 对 $f(x,y)=x\sin (1/y)+y\sin (1/x)$，为什么重极限存在而累次极限不存在？

自测答案

1. 直线只是所有趋近路径的一小部分，曲线路径可能给出不同结果。
2. 不一定，$xy/(x^2+y^2)$ 即为反例。
3. 根据定理 16.6，二者必定相等。
4. 同阶可使商趋于非零常数，从而更容易制造与简单路径不同的极限值。
5. 绝对值可被 $|x|+|y|$ 统一控制；但固定一个变量后，另一项含有不收敛的 $\sin (1/t)$ 振荡。