2026-09-03-Review

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数学分析 II 复习：级数

本笔记复习数项级数、函数列与函数项级数、幂级数和 Taylor 展开。

1. 数项级数

1.1 基本概念

• 级数 $\sum u_n$ 的部分和 $S_n=u_1+\cdots +u_n$；级数收敛 $⟺$ 部分和数列 $\{S_n\}$ 收敛。
• 收敛的必要条件：${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=0$；通项不趋于 0 必发散。
• Cauchy 准则：$\sum u_n$ 收敛 $⟺\forall \epsilon >0$，$\exists N$，$\forall n>N,p\ge 1$，

$$|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots +u_{n+p}|<\epsilon .$$

• 基本参考级数：
  • 几何级数 $\sum r^n$：$|r|<1$ 收敛；
  • $p$-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$：$p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散；
  • 调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散。
• 部分和能化简的级数（裂项、错位相减）直接求部分和极限。

1.2 正项级数判别法

• 比较判别法：$0\le u_n\le v_n$（最终成立），$\sum v_n$ 收敛 ⇒ $\sum u_n$ 收敛；$\sum u_n$ 发散 ⇒ $\sum v_n$ 发散。
• 极限比较法：$\lim \frac{u_n}{v_n}=c\in (0,+\infty )$ ⇒ 两级数同敛散。
• 比值判别法：$\lim \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，$\rho <1$ 收敛，$\rho >1$ 发散，$\rho =1$ 失效。
• 根值判别法：$\mathrm{limsup}\sqrt[n]{u_n}=\rho$，判定同上。
• 积分判别法：$f$ 非负、连续、单调递减，$\sum f(n)$ 与 ${\int }_1^{+\infty }f(x)dx$ 同敛散。
• 柯西凝聚判别法：$\{a_n\}$ 单调递减，$\sum a_n$ 与 $\sum 2^n{a}_{2^n}$ 同敛散。
• 拉贝判别法：$\lim n\left(1-\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)=L$，$L>1$ 收敛，$L<1$ 发散。
• 无穷乘积：$a_n>0$ 时 $\prod (1+a_n)$ 与 $\sum a_n$ 同敛散。

选择流程：

1. 先看通项是否趋于 0；
2. 含 $n!$ 或 $a^n$：比值判别法；
3. 含 $n$ 次方：根值判别法；
4. 与 $p$-级数或几何级数同阶：比较/极限比较法；
5. 分母含 $\ln n$ 的幂：积分判别法；
6. 单调递减：柯西凝聚判别法；
7. 比值极限为 1：拉贝判别法。

1.3 一般项级数

• 绝对收敛：$\sum |u_n|$ 收敛 ⇒ $\sum u_n$ 收敛；收敛但不绝对收敛称为条件收敛。
• Leibniz 判别法：$a_n$ 单调递减趋于 0 ⇒ $\sum (-1{)}^{n-1}{a}_n$ 收敛。
• Abel 判别法：$\sum a_n$ 收敛，$\{b_n\}$ 单调有界 ⇒ $\sum a_n{b}_n$ 收敛。
• Dirichlet 判别法：$\sum a_n$ 的部分和有界，$\{b_n\}$ 单调趋于 0 ⇒ $\sum a_n{b}_n$ 收敛。
• 重排：绝对收敛级数重排后仍收敛且和不变；条件收敛级数可重排改变和或使其发散（Riemann 重排定理）。
• Cauchy 乘积：$(\sum a_n)(\sum b_n)=\sum c_n$，$c_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$。

1.4 常用等价量

$$\sin \frac{1}{n}\sim \frac{1}{n},1-\cos \frac{1}{n}\sim \frac{1}{2n^2},\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n},$$ $$a^{1/n}+a^{-1/n}-2\sim \frac{(\ln a{)}^2}{n^2},\frac{1}{(\ln n{)}^{\ln n}}=\frac{1}{n^{\ln \ln n}}.$$

2. 函数列与函数项级数

2.1 一致收敛的定义与判断

• 点态收敛：对每个固定的 $x$，$\lim f_n(x)=f(x)$，$N$ 可与 $x$ 有关。
• 一致收敛：$N$ 与 $x$ 无关，记 $f_n\rightrightarrows f$。
• sup 判据：

$$f_n\rightrightarrows f⟺\underset{x\in I}{\sup }|f_n(x)-f(x)|\to 0.$$

• 一致收敛的 Cauchy 准则：$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall m>n>N,\forall x\in I$，$|f_m(x)-f_n(x)|<\epsilon$。
• 判断不一致收敛：找点列 $x_n$ 使 $\sup |f_n-f|$ 不趋于 0。

2.2 M-判别法

若 $\forall x\in I$，$|u_n(x)|\le M_n$，且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛且绝对收敛。

2.3 极限运算的三个定理

定理	条件	结论
连续性	每项 $f_n$ 连续，$f_n\rightrightarrows f$	极限函数 $f$ 连续
积分	每项可积，$f_n\rightrightarrows f$	$\lim \int f_n=\int \lim f_n$，极限与积分可交换
微分	每项可导，$f_n^{\prime }\rightrightarrows g$，且 $\{f_n\}$ 在某点收敛	$f_n\rightrightarrows f$，$f$ 可导且 $f^{\prime }=g=\lim f_n^{\prime }$

微分定理的证明骨架：由微积分基本定理写出 $f_n(x)=f_n(x_0)+{\int }_{x_0}^x{f}_n^{\prime }(t)dt$，分别用某点收敛与 $f_n^{\prime }$ 的一致收敛控制两项。

2.4 函数项级数版本

• $\sum u_n$ 一致收敛且每项连续 ⇒ 和函数连续；
• $\sum u_n$ 一致收敛 ⇒ 可逐项积分；
• $\sum u_n^{\prime }$ 一致收敛且 $\sum u_n$ 在某点收敛 ⇒ 可逐项求导。

3. 幂级数与 Taylor 展开

3.1 收敛半径与收敛域

幂级数 $\sum a_n{x}^n$ 的收敛半径：

$$R=\frac{1}{\mathrm{limsup}\sqrt[n]{|a_n|}},$$

或（极限存在时）$R=\lim \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$。

• 收敛半径只由系数决定，与 $x$ 无关；
• 内部 $|x|<R$ 绝对收敛，端点 $x=\pm R$ 单独判断；
• $x^n$ 换成 $x^{2n}$ 时半径变为 $\sqrt{R}$；
• 缺项级数直接对整项用比值法。

Abel 定理：幂级数在收敛区间内部任意闭区间上一致收敛；若端点收敛，则和函数连续到端点。

3.2 常用和函数公式

$$\begin{array}{rlrl}\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n& =\frac{1}{1-x},& \sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^n& =\frac{1}{(1-x{)}^2},\\ \sum _{n=1}^{\infty }n(n+1)x^n& =\frac{2x}{(1-x{)}^3},& \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}& =-\ln (1-x),\\ \sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}& =\ln (1+x),& \sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}& =\arctan x,\\ \sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}& =\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}.& & \end{array}$$

3.3 标准展开式

$$\begin{array}{rlrl}{e}^x& =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!},& \sin x& =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\\ \cos x& =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},& \frac{1}{1-x}& =\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n,\\ \frac{1}{1+x}& =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n,& \ln (1+x)& =\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}.\end{array}$$ $$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},$$ $$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots .$$

3.4 Taylor 公式与展开条件

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+R_n(x),$$ $$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}.$$

• $R_n(x)\to 0$（$n\to \infty$）⇔ $f$ 可展开为 Taylor 级数；
• 导数一致有界（$|f^{(n)}(x)|\le M$）时余项趋于 0，展开成立；
• 在 $x_0$ 处展开先令 $t=x-x_0$，用已知展开式代换。

3.5 求和的常用操作

• 部分分式拆成已知级数；
• 逐项求导或逐项积分，配合指标平移；
• 还原和函数时用 $S(0)$ 确定常数；
• 端点处和函数值用 Abel 定理取极限。