2026-09-02-Review

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后续复习：数项级数、函数项级数与幂级数

数学分析 II 复习：积分

本笔记复习不定积分、Riemann 积分与广义积分，重点保留定义、判别条件、计算方法和常用结论。

1. 不定积分

1.1 基本概念

• 不定积分：$\int f(x)dx=F(x)+C$，是所有原函数的全体。
• 同一函数的不同原函数只差一个常数；连续函数必存在原函数。
• 分段定义的被积函数（如 $e^{-|x|}$），分段求原函数后要在分段点处用连续性确定常数。

1.2 积分表

$$\begin{array}{rlrl}& \int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C(\alpha \ne -1),& & \int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C,\\ & \int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,& & \\ & \int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C,& & \int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C,\\ & \int \sec x\tan xdx=\sec x+C,& & \int \csc x\cot xdx=-\csc x+C,\\ & \int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C,& & \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C,\\ & \int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C.& & \\ & \int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C,& & \\ & \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C& & \\ & \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C,& & \\ & \int \frac{dx}{\sin x}=\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C.& & \end{array}$$

1.3 换元积分法

1.3.1 第一类换元

若 $\int f(u)du=F(u)+C$，则

$$\int f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx=F(\phi (x))+C.$$

1.3.2 第二类换元

令 $x=\phi (t)$，去掉根号

被积式出现	令	目的
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t$	$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$
$\sqrt{x^2+a^2}$	$x=a\tan t$	$\sqrt{x^2+a^2}=\frac{a}{\cos t}=a\sec t$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec t$	$\sqrt{x^2-a^2}=a\tan t$
$\sqrt{ax+b}$	$\sqrt{ax+b}=t$	去根号
$\sqrt[n]{ax+b}$	$\sqrt[n]{ax+b}=t$	去根号

注意要回代回关于 $x$ 的函数。

1.3.3 万能公式

被积函数是关于 $\sin x,\cos x,\tan x$ 的有理式，令 $t=\tan \frac{x}{2}$。

推导: $\tan x=\frac{2t}{1-t^2}$，得直角三角形三边长度为 $2t,1-t^2,1+t^2$

$$\begin{array}{r}\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\tan x=\frac{2t}{1-t^2}\end{array}$$

被积函数只含 ${\sin }^{2}x,{\cos }^{2}x,\tan x$（如 $\frac{dx}{2+{\sin }^{2}x}$）：令 $t=\tan x$，${\sin }^{2}x=\frac{t^2}{1+t^2}$，$dx=\frac{dt}{1+t^2}$。

1.4 分部积分

$$\int udv=uv-\int vdu.$$

$u$ 的选取优先级（“反对幂指三”）。

类型	做法
$\int x^2\cos xdx$	多项式当 $u$，反复分部
$\int \arcsin xdx,(\arcsin x{)}^{2}dx$	反三角当 $u$
$\int (\ln x{)}^{2}dx$	对数当 $u$，降次
$\int e^{ax}\sin bxdx$	出现回环，移项解 $I$
$\int {\sec }^{3}xdx$	回环 + 移项
$\int \sqrt{x^2\pm a^2}dx$	回环 + 移项

两个常见结果。(有空手算一次)

$$\begin{array}{r}\int {\sec }^{3}xdx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)\right|+C,\\ \int \sqrt{x^2\pm a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm \frac{a^2}{2}\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C.\end{array}$$

1.5 有理函数积分

步骤：真分式 → 部分分式 → 逐项积分。

1. 分母可拆为一次因式：$\frac{x-2}{(x-3)(x-4)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-4}$，待定系数求 $A,B$。
2. 分母含不可约二次因式（如 $x^2-x+1$）：配方后用 $\int \frac{dx}{(x-a{)}^2+b^2}=\frac{1}{b}\arctan \frac{x-a}{b}$。
3. 分母含重因式（如 $(2x^2+2x+1{)}^2$）：拆成一次/二次项的各次幂，$\frac{dx}{(x^2+a^2{)}^2}$ 用递推或三角代换。

1.6 递推公式

(需要过手算)

$$\begin{array}{rl}{I}_n& =\int {\tan }^{n}xdx=\frac{1}{n-1}{\tan }^{n-1}x-I_{n-2},\\ I(m,n)& =\int {\cos }^{m}x{\sin }^{n}xdx\\ & =\frac{{\cos }^{m-1}x{\sin }^{n+1}x}{m+n}+\frac{m-1}{m+n}I(m-2,n),\\ I_n& =\int (\ln x{)}^{n}dx=x(\ln x{)}^n-n{I}_{n-1},\\ I_n& =\int e^{ax}{\sin }^{n}xdx=\frac{e^{ax}{\sin }^{n-1}x(a\sin x-n\cos x)+n(n-1)I_{n-2}}{n^2+a^2}.\end{array}$$

把 ${\tan }^{n}x$ 写成 ${\tan }^{n-2}x({\sec }^{2}x-1)$；把 ${\cos }^{m}x{\sin }^{n}x$ 中一个因子凑进 $d(\sin x)$ 或 $d(\cos x)$，再用 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 把高次降回 $I(m-2,n)$。

2. 定积分

2.1 Riemann 积分的定义

对 $[a,b]$ 作分割 $T$，任取 ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$，积分和 ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$。当 $\Vert T\Vert \to 0$ 时极限存在且与分割、取点无关，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，记为

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i.$$

计算题常用等分 + 特殊取点化为数列极限：

• 右端点：${\int }_0^1{e}^{x}dx={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{e}^{i/n}=e-1$。

• 几何中点：${\int }_a^b\frac{dx}{x^2}={\lim }_{n\to \infty }\sum \frac{b-a}{\sqrt{x_{i-1}{x}_i}}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$。

• 一般形式：${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$。

2.2 可积条件

2.2.1 可积的充分条件

• 连续 ⇒ 可积；
• 单调有界 ⇒ 可积；
• 有界且间断点只有有限个 ⇒ 可积；
• 有界且间断点集只有有限个聚点（如 $\{\frac{1}{n}\}$ 收敛到一点）⇒ 可积（题 6、7）；
• 有界且能被可积函数逐点任意逼近（$\forall \epsilon ,\exists g$ 可积，$|f-g|<\epsilon$）⇒ 可积（题 8）。

2.2.2 Darboux 判据

$f$ 可积 $⟺\forall \epsilon >0$，存在分割 $T$ 使上、下和之差

$$S(T)-s(T)=\sum _i{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon ,$$

其中 ${\omega }_i$ 是 $f$ 在 ${\Delta }_i$ 上的振幅 $\sup f-\inf f$。

2.2.3 常用结论

• 改变有限个点的函数值，不改变可积性与积分值（题 5）。
• 加细分割不增 $\sum {\omega }_i\Delta x_i$（题 4）。
• $f,g$ 可积 ⇒ $fg$ 可积；$|f|\ge m>0$ ⇒ $\frac{1}{f}$ 可积（题 12，振幅 ${\omega }_{1/f}\le {\omega }_f/m^2$）。
• 不同取点 ${\xi }_i,{\eta }_i$ 的混合积分和也收敛到 $\int fg$（题 9，用 $g$ 的振幅控制）。

2.3 定积分的性质

1. 线性：$\int (\alpha f+\beta g)=\alpha \int f+\beta \int g$。
2. 区间可加：${\int }_a^c={\int }_a^b+{\int }_b^c$。
3. 保序：$f\le g\Rightarrow \int f\le \int g$；$\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$。
4. 估值定理：$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$。
5. 积分第一中值定理：$f$ 连续 ⇒ $\exists \xi$，${\int }_a^{b}f=f(\xi )(b-a)$。
6. $f$ 连续且不恒为 0 ⇒ ${\int }_a^b{f}^2>0$（题 11，用局部保号性）。
7. 凸函数不等式（题 14）：若 $f^{\prime \prime }>0$，则

$$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx.$$

证法：$f(x)\ge f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$（切线在下方），取 $x_0=\frac{a+b}{2}$ 后积分，一次项积分为 0。

该部分需要回看谢惠民。

2.4 微积分基本定理

• 变上限积分：$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$，$f$ 连续 ⇒ $F^{\prime }(x)=f(x)$。
• Newton–Leibniz 公式：$f$ 连续、$F$ 为原函数时，

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

• 变限积分求导：

$$\frac{d}{dx}{\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x).$$

• 题 15 直接由该公式证明。
• 题 16：$F(x)={\int }_a^{x}f(t)(x-t)dt\Rightarrow F^{\prime \prime }(x)=f(x)$。做法：写成 $x{\int }_a^{x}f-{\int }_a^{x}tf(t)dt$ 再求导。
• 换元定理（题 21）：$\phi$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 严格单调且 ${\phi }^{\prime }$ 可积，$\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$，则

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt.$$

2.5 计算方法

2.5.1 对称区间

• $f$ 奇 ⇒ ${\int }_{-a}^{a}f=0$；$f$ 偶 ⇒ ${\int }_{-a}^{a}f=2{\int }_0^{a}f$。

2.5.2 三角对称

$${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx.$$

令 $x=\frac{\pi }{2}-t$ 或 $x=\pi -t$。

2.5.3 配对法

题 17(7)：$I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta }d\theta$，再写 $J={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin \theta }{\sin \theta +\cos \theta }d\theta$，则 $I+J=\frac{\pi }{2}$，由对称 $I=J$，得 $I=\frac{\pi }{4}$。

2.5.4 Wallis 公式

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{ 为偶数},\\ \frac{(n-1)!!}{n!!},& n\text{ 为奇数}.\end{array}$$

例：${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{4}x{\cos }^{2}xdx=\frac{\pi }{32}$；${\int }_0^a{x}^2\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi a^4}{16}$。

2.5.5 含绝对值或对数的积分

${\int }_0^1|\ln x|dx={\int }_0^{1/e}(-\ln x)dx+{\int }_{1/e}^1\ln xdx=2-\frac{2}{e}$。

2.6 用定积分求极限

把和式凑成 Riemann 和：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^4}(1^3+2^3+\cdots +n^3)={\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{1}{4},$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left[\frac{1}{(n+1{)}^2}+\cdots +\frac{1}{(n+n{)}^2}\right]={\int }_0^1\frac{dx}{(1+x{)}^2}=\frac{1}{2}.$$

此部分应该是定积分应用，但是我不学物理和几何，故略去。

3. 广义积分

3.1 两类反常积分

无穷积分：

$${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{A\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{A}f(x)dx,$$

极限存在则收敛。定义域含 $-\infty$ 时拆成两段分别收敛。

瑕积分（无界函数积分）：若 $x=b$ 是瑕点（$f$ 在 $b$ 附近无界），

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\eta \to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^{b-\eta }f(x)dx.$$

区间内有两个以上瑕点（如 ${\int }_0^2\frac{dx}{\sqrt{|x-1|}}$）必须先拆段，各段都收敛才收敛。

3.2 两个基本比较标准

$${\int }_a^{+\infty }\frac{dx}{x^p}:p>1\text{ 收敛},p\le 1\text{ 发散}.$$ $${\int }_a^b\frac{dx}{(x-a{)}^p}:p<1\text{ 收敛},p\ge 1\text{ 发散}.$$

（注意方向相反：无穷远处幂次要”大于 1”，瑕点处幂次要”小于 1”。）

嵌套对数型（习题 11.2 题 9 的积分版本）：

$${\int }_3^{+\infty }\frac{dx}{x(\ln x{)}^p(\ln \ln x{)}^q}:\{\begin{array}{ll}p>1& \text{任意 }q\text{ 收敛},\\ p<1& \text{任意 }q\text{ 发散},\\ p=1& \text{仅当 }q>1\text{ 收敛}.\end{array}$$

3.3 敛散判别法

3.3.1 比较判别法

非负函数 $0\le f\le g$：$g$ 收敛 ⇒ $f$ 收敛；$f$ 发散 ⇒ $g$ 发散。

3.3.2 极限比较法

若 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=c\in (0,+\infty )$，则 $\int f$ 与 $\int g$ 同敛散。瑕点处同理。

常用等价量：

$$\sin x\sim x,1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},\ln (1+x)\sim x,\ln x=o(x^{\epsilon }).$$

3.3.3 绝对收敛与条件收敛

• $\int |f|$ 收敛 ⇒ $\int f$ 绝对收敛，绝对收敛必收敛。
• 收敛但不绝对收敛称为条件收敛。
• 例：${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ 条件收敛（Dirichlet 积分型）。

3.3.4 Dirichlet 判别法

若 ${\int }_a^{A}f(x)dx$ 关于 $A$ 有界，$g$ 单调趋于 0，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)dx$ 收敛。

3.3.5 收敛积分的必要条件

• 若 ${\int }_a^{+\infty }f$ 收敛且 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A$ 存在，则 $A=0$（习题 11.1 题 5，反证法）。
• 若 $f$ 一致连续且 ${\int }_a^{+\infty }f$ 收敛，则 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$（习题 11.2 题 9，用 Cauchy 准则反证）。

3.4 常用积分值

积分	值
${\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x^2}dx$	$\frac{1}{2}$
${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2(1+x)}$	$1-\ln 2$
${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{4x^2+4x+5}$	$\frac{\pi }{4}$
${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}\sin xdx$	$\frac{1}{2}$
${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$	发散（$\sim \ln x$）
${\int }_a^b\frac{dx}{(x-a{)}^p}$	$p<1$ 时 $\frac{(b-a{)}^{1-p}}{1-p}$
${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$\frac{\pi }{2}$
${\int }_0^2\frac{dx}{\sqrt{\mid x-1\mid }}$	$4$
${\int }_0^1\ln xdx$	$-1$
${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}$	$\pi$

3.5 特殊函数与特殊积分

3.5.1 Gamma 函数

$$\Gamma (n+1)=n!,{\int }_0^{+\infty }{t}^n{e}^{-t}dt=n!.$$

由此：

$${\int }_0^1(\ln x{)}^{n}dx=(-1{)}^{n}n!$$

（令 $\ln x=-t$，即 $x=e^{-t}$）。

3.5.2 两个对数三角积分

$${\int }_0^{\pi /2}\ln (\sin x)dx=-\frac{\pi }{2}\ln 2,$$ $${\int }_0^{\pi }\theta \ln (\sin \theta )d\theta =-\frac{{\pi }^2}{2}\ln 2.$$

证明：第一式用 ${\int }_0^{\pi /2}\ln \sin x={\int }_0^{\pi /2}\ln \cos x$ 相加后令 $u=2x$；第二式用 $\theta \to \pi -\theta$ 的对称性。