2026-09-07-Note

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前置复习：数项级数、函数项级数与幂级数
后续内容：平面点列与完备性定理

平面点集

本节建立多元函数极限所需的点集语言，重点是邻域、点的分类、开闭性与区域概念。

1. 基本概念

Definition

坐标平面上满足某个条件 $P$ 的点构成的集合称为平面点集，记作

$$E=\{(x,y)\mid (x,y)\text{ 满足条件 }P\}.$$

1.1 邻域与空心邻域

设 $A=(x_0,y_0)$，$\delta >0$。

Circular neighborhood

$$U(A;\delta )=\{(x,y)\mid (x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{\delta }^2\}.$$

Square neighborhood

$$\{(x,y)\mid |x-x_0|<\delta ,|y-y_0|<\delta \}.$$

Deleted neighborhood

$$U^{\circ }(A;\delta )=\{(x,y)\mid 0<(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{\delta }^2\}.$$

圆邻域与方邻域给出等价的局部概念。空心邻域删去中心点 $A$，主要用于极限与聚点的定义。

1.2 点的分类

Interior point

若存在 $A$ 的某个邻域 $U(A)$，使得 $U(A)\subset E$，则称 $A$ 为 $E$ 的内点。全体内点构成 $E$ 的内部，记作 $\mathrm{int}E$。

Exterior point

若存在 $A$ 的某个邻域 $U(A)$，使得 $U(A)\cap E=\varnothing$，则称 $A$ 为 $E$ 的外点。

Boundary point

若 $A$ 的任意邻域内既含有 $E$ 中的点，也含有 $E^c$ 中的点，则称 $A$ 为 $E$ 的界点。等价地，

$$\begin{array}{rl}U(A;\delta )\cap E& \ne \varnothing ,\\ U(A;\delta )\cap E^c& \ne \varnothing \end{array}(\forall \delta >0).$$

Remark

• 内点一定属于 $E$；
• 外点一定不属于 $E$；
• 界点可能属于 $E$，也可能不属于 $E$。

Accumulation point

若 $A$ 的任意空心邻域 $U^{\circ }(A)$ 内都含有 $E$ 中的点，则称 $A$ 为 $E$ 的聚点。$A$ 是否属于 $E$ 不影响这一判断。

Isolated point

若 $A\in E$，但 $A$ 不是 $E$ 的聚点，即存在 $\delta >0$ 使

$$U^{\circ }(A;\delta )\cap E=\varnothing ,$$

则称 $A$ 为 $E$ 的孤立点。

1.3 边界、闭包与导集

Definition

• $E$ 的全体界点组成其边界，记作 $\partial E$；
• $E$ 与其边界的并称为闭包，记作 $\overline{E}=E\cup \partial E$；
• $E$ 的全体聚点组成导集，记作 $E^{\prime }$。

对固定集合 $E$，内点、外点与界点把全平面分成三类：

$${\mathbb{R}}^2=\mathrm{int}E\cup \partial E\cup \mathrm{ext}E,$$

且三者两两不交。常用关系为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{int}E& =E\setminus \partial E,\\ \overline{E}& =E\cup E^{\prime },\\ \mathrm{int}E& \subset E\subset \overline{E}.\end{array}$$

其中 $\overline{E}$ 是包含 $E$ 的最小闭集。

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2. 开集、闭集与区域

2.1 开集

Definition

若 $E$ 的每一点都是内点，即 $E=\mathrm{int}E$，则称 $E$ 为开集。约定空集为开集。

Criteria

1. 逐点验证：对每个 $A\in E$，找到可依赖于 $A$ 的 $\delta >0$，使 $U(A;\delta )\subset E$；
2. 内部判定：验证 $E=\mathrm{int}E$；
3. 边界判定：验证 $E\cap \partial E=\varnothing$；
4. 余集判定：验证 $E^c$ 为闭集；
5. 运算判定：任意个开集的并仍为开集，有限个开集的交仍为开集。

2.2 闭集

Definition

若 $E^c$ 为开集，则称 $E$ 为闭集。闭集有以下等价刻画：

$$\begin{array}{rl}{E}^{\prime }& \subset E,\\ \partial E& \subset E,\\ E& =\overline{E}.\end{array}$$

还可以使用序列判定：若 $E$ 中任意收敛点列的极限仍属于 $E$，则 $E$ 为闭集。任意个闭集的交仍为闭集，有限个闭集的并仍为闭集。

特殊情形

$\varnothing$ 与 ${\mathbb{R}}^2$ 既开又闭。“不是开集”不能推出“是闭集”。

2.3 开域

Definition

若非空开集 $E$ 具有折线连通性，即 $E$ 中任意两点都能用完全包含在 $E$ 内的有限折线连接，则称 $E$ 为开域。

判断开域需要依次验证 $E$ 是开集且连通。凸开集一定是开域。开域一定是开集，但开集可能由互不连通的若干部分组成，因而未必是开域。

2.4 闭域

Definition

开域 $D$ 连同其全部边界组成的集合 $\overline{D}=D\cup \partial D$ 称为闭域。

集合 $F$ 是闭域时，应同时满足：

1. $F$ 是闭集；
2. $\mathrm{int}F$ 是非空开域；
3. $F=\overline{\mathrm{int}F}$。

闭域一定是闭集，但闭集未必是闭域。例如，两个互不相交的闭圆盘之并是闭集，但其内部不连通。

2.5 区域

Definition

开域、闭域，或开域连同其一部分边界点组成的集合，统称为区域：

• 不取边界点时得到开域；
• 只取部分边界点时，一般既不是开集也不是闭集；
• 取全部边界点时得到闭域。

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3. 平面点集的性质

3.1 开集与闭集的等价条件

$$\begin{array}{rl}E\text{ 为开集}& ⟺E=\mathrm{int}E⟺E\cap \partial E=\varnothing ,\\ E\text{ 为闭集}& ⟺E^c\text{ 为开集}⟺E^{\prime }\subset E⟺\partial E\subset E⟺E=\overline{E}.\end{array}$$

此外，

$$\begin{array}{rl}\text{开域}& =\text{开集}+\text{连通性},\\ \text{闭域}& =\text{开域}+\text{全部边界},\\ \text{区域}& =\text{开域}+\text{任意部分边界}.\end{array}$$

3.2 五类点之间的关系

• 内点、外点与界点构成全平面的互斥三分类；
• 对 $A\in E$，$A$ 或为聚点，或为孤立点；
• 内点一定是聚点，聚点未必是内点，也未必属于 $E$；
• 外点一定不是聚点；
• 聚点只能是内点或界点；
• 孤立点一定属于 $E$，且一定是界点，但不是聚点；
• 非空开集没有孤立点。

3.3 说明

1. “邻域内含有 $E$ 中无穷多个点”不能推出该点是内点；内点要求一整个邻域都包含在 $E$ 中；
2. 界点要求邻域同时与 $E$ 和 $E^c$ 相交；
3. 判断孤立点必须使用空心邻域；
4. 空心邻域是开集但不是闭集，其中心是聚点却不属于该空心邻域；
5. 有限点集没有聚点，因此是闭集；非空有限点集不是开集，其每个点都是孤立点和界点；
6. 开集与闭集既不互斥，也不穷尽所有集合。