2026-09-24-Note

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课程资料：Chapter 4 Slides PDF；Chapter 4 PPT 原件；《金融学》中文版；English Textbook

Time Value of Money, Annuities, and Loan Amortization / 货币时间价值、年金与贷款摊还

1. The Time Value of Money / 货币的时间价值

Definition

The time value of money means that cash flows received at different dates cannot be compared or added directly without first moving them to the same date.

今天的 1 元通常比未来确定收到的 1 元更有价值，原因包括：

• 当前资金可以投资并产生利息；
• 通货膨胀会降低未来货币的购买力；
• 未来现金流可能存在违约或其他不确定性。

金融计算的基本原则是：先选定一个 valuation date，再通过 compounding 或 discounting 把所有现金流移动到该日期。

符号	English term	中文含义
$PV$	present value	现值
$FV$	future value	终值
$i$	periodic interest rate	每期利率
$n$	number of periods	计息期数
$PMT$	periodic payment	每期等额现金流

2. Lump-Sum Cash Flows / 一次性现金流

2.1 Future Value / 终值

一笔现值为 $PV$ 的资金按每期利率 $i$ 复利增长 $n$ 期，终值为

$$\boxed{FV=PV(1+i{)}^n}.$$

例如，将 $1,500$ 元按年利率 $3\%$ 投资 5 年：

$$FV=1500(1.03{)}^5\approx 1,\mathrm{738.91.}$$

复利的关键在于每一期的利息也会进入下一期本金。

2.2 Present Value / 现值

把未来现金流贴现到今天：

$$\boxed{PV=\frac{FV}{(1+i{)}^n}=FV(1+i{)}^{-n}}.$$

若两年后收到 $40,000$ 元，要求回报率为 $8\%$，则

$$PV=\frac{40,000}{(1.08{)}^2}\approx 34,\mathrm{293.55.}$$

要求回报率越高，给定未来现金流的现值越低。

2.3 Solving for the Interest Rate / 求利率

由

$$FV=PV(1+i{)}^n$$

可得

$$\boxed{i={\left(\frac{FV}{PV}\right)}^{1/n}-1}.$$

例如，$15,000$ 元在十年后增长为 $30,000$ 元，则年化复合收益率为

$$i=2^{1/10}-1\approx 7.18\%.$$

2.4 Solving for the Number of Periods / 求期数

对终值公式取自然对数：

$$\ln \frac{FV}{PV}=n\ln (1+i),$$

因此

$$\boxed{n=\frac{\ln (FV/PV)}{\ln (1+i)}}.$$

2.5 Rule of 72 / 72 法则

资金翻倍所需年数可近似为

$$\text{doubling time}\approx \frac{72}{\text{annual rate in percent}}.$$

这一规则适合快速估算，不能替代精确的复利计算。精确翻倍时间为

$$n=\frac{\ln 2}{\ln (1+i)}.$$

Calculation precision

中间步骤应保留足够精度，只在最终结果处按经济意义进行舍入。过早截断会在长期复利和大额项目中积累明显误差。

3. Compounding Frequency / 复利频率

设名义年利率，即 annual percentage rate 为 $k$，每年复利 $m$ 次，则每期利率为

$$\frac{k}{m}.$$

投资 1 元一年后的价值为

$${\left(1+\frac{k}{m}\right)}^m.$$

因此有效年利率为

$$\boxed{EFF={\left(1+\frac{k}{m}\right)}^m-1}.$$

3.1 APR and Effective Annual Rate / APR 与有效年利率

Definition

The annual percentage rate, APR, reports a nominal annual rate without incorporating within-year compounding into the quoted percentage.

Definition

The effective annual rate, EFF, is the one-year return after accounting for all compounding within the year.

例如，信用卡 APR 为 $18\%$，按月复利，则月利率为 $1.5\%$，有效年利率为

$$EFF=(1.015{)}^{12}-1\approx 19.56\%.$$

相同 APR 下，复利频率越高，EFF 越高。因此比较不同贷款或存款报价时，应使用相同期间的有效利率。

3.2 Deriving APR from the Effective Annual Rate / 从有效年利率反推 APR

若目标有效年利率为 $EFF$，每年复利 $m$ 次，则对应 APR 为

$$\boxed{k_m=m\left[(1+EFF{)}^{1/m}-1\right]}.$$

例如，银行希望获得 $12\%$ 的有效年利率时，复利越频繁，对应的报价 APR 越低，但实际一年增长因子保持 $1.12$ 不变。

3.3 Continuous Compounding / 连续复利

当复利频率趋于无穷，

$$\underset{m\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{k}{m}\right)}^m=e^k.$$

连续复利下的有效年利率为

$$\boxed{EFF=e^k-1}.$$

APR 为 $18\%$ 且连续复利时，

$$EFF=e^{0.18}-1\approx 19.72\%.$$

4. Cash-Flow Timelines / 现金流时间线

时间线将每笔现金流放在其实际发生日期。若 $C{F}_t$ 表示第 $t$ 期末现金流，则其现值为

$$\boxed{PV=\sum _{t=0}^n\frac{C{F}_t}{(1+i{)}^t}}.$$

在第 $n$ 期计算终值时，

$$\boxed{F{V}_n=\sum _{t=0}^{n}C{F}_t(1+i{)}^{n-t}}.$$

Value additivity 表明，同一估值日期上的现金流价值可以相加：

$$PV(C{F}^{(1)}+C{F}^{(2)})=PV(C{F}^{(1)})+PV(C{F}^{(2)}).$$

不同日期的名义金额不能直接相加，必须先移动到同一日期。

例如，若贴现率为 $10\%$，第 1 期收到 $1,000$ 元、第 2 期收到 $2,000$ 元，则

$$PV=\frac{1,000}{1.10}+\frac{2,000}{(1.10{)}^2}\approx 909.09+1,652.89=2,\mathrm{561.98.}$$

4.1 Net Present Value and Internal Rate of Return / 净现值与内部收益率

Definition

The net present value, NPV, is the present value of all project cash inflows minus the present value of all project cash outflows.

若 $C{F}_0$ 已包含初始投资，则

$$\boxed{NPV(r)=\sum _{t=0}^n\frac{C{F}_t}{(1+r{)}^t}}.$$

在贴现率已经正确反映资金机会成本和项目风险时，独立项目的决策规则是：

$$NPV>0\Rightarrow \text{accept},NPV<0\Rightarrow \text{reject}.$$

Definition

The internal rate of return, IRR, is a discount rate that makes the project’s NPV equal to zero.

即 IRR 满足

$$0=\sum _{t=0}^n\frac{C{F}_t}{(1+IRR{)}^t}.$$

对先发生一次净流出、随后只产生净流入的 conventional cash flows，若 $IRR$ 高于 required rate of return，项目通常可以接受。但存在多次现金流符号变化时，可能出现多个 IRR 或不存在实数 IRR；互斥项目的规模和时点不同也可能使 IRR 排序与 NPV 排序冲突。因此，最终价值判断应以 NPV 为主。

5. Ordinary Annuities / 普通年金

Definition

An ordinary annuity is a sequence of equal cash flows occurring at equally spaced dates, with the first payment one period from today.

标准年金公式通常假设：

• 每期现金流均为 $PMT$；
• 每期长度相同；
• 每期利率恒定为 $i$；
• 第一次支付发生在一期后。

5.1 Present Value of an Annuity / 年金现值

普通年金现值为

$$P{V}_a=\frac{PMT}{1+i}+\frac{PMT}{(1+i{)}^2}+\cdots +\frac{PMT}{(1+i{)}^n}.$$

利用等比数列可得

$$\boxed{P{V}_a=PMT\frac{1-(1+i{)}^{-n}}{i}}.$$

年金现值因子为

$$PVIFA(i,n)=\frac{1-(1+i{)}^{-n}}{i}.$$

5.2 Future Value of an Annuity / 年金终值

普通年金在第 $n$ 期末的终值为

$$\boxed{F{V}_a=PMT\frac{(1+i{)}^n-1}{i}}.$$

5.3 Solving for the Payment / 求每期付款额

给定贷款或年金现值时，每期支付额为

$$\boxed{PMT=PV\frac{i}{1-(1+i{)}^{-n}}}.$$

5.4 Solving for the Number of Payments / 求付款期数

由普通年金现值公式可得

$$\boxed{n=-\frac{\ln \left(1-\frac{PV\cdot i}{PMT}\right)}{\ln (1+i)}},$$

前提是 $PMT>PV\cdot i$。如果每期支付不超过当期利息，本金无法在有限期内还清。

给定 $PV$、$PMT$ 和 $n$ 反求利率 $i$ 时，一般不存在简单闭式解，需要使用数值方法或 financial calculator。

6. Annuities Due / 期初年金

Definition

An annuity due makes its first payment today rather than one period from today.

Annuity due 的每笔现金流都比普通年金提前一期，因此

$$\boxed{P{V}_{ad}=P{V}_a(1+i)},$$ $$\boxed{F{V}_{ad}=F{V}_a(1+i)}.$$

判断年金类型时，不要只看支付次数，要先确定第一笔支付发生在 $t=0$ 还是 $t=1$。

术语核对

课件第 41 页把从 $t=0$ 开始支付的年金标为 “Immediate Annuity”。标准金融与精算术语通常将其称为 annuity due；annuity-immediate 通常指第一笔付款发生在一期后的普通年金。

7. Perpetuities / 永续年金

7.1 Level Perpetuity / 等额永续年金

若每期永久支付固定金额 $PMT$，且 $i>0$，则

$$\boxed{PV=\frac{PMT}{i}}.$$

这是普通年金现值在 $n\to \infty$ 时的极限。

7.2 Growing Perpetuity / 增长型永续年金

若下一期的第一笔现金流为 $PM{T}_1$，以后每期按固定速度 $g$ 永久增长，且 $i>g$，则

$$\boxed{PV=\frac{PM{T}_1}{i-g}}.$$

术语核对

课件第 56 页将 $PV=PM{T}_1/(i-g)$ 放在 “Growing Annuities” 标题下。该公式对应 growing perpetuity；有限期 growing annuity 还需要包含终止期 $n$。

8. Loan Amortization / 贷款摊还

Definition

Loan amortization is the gradual repayment of loan principal through a sequence of periodic payments containing both interest and principal.

固定利率、等额支付贷款的每期还款额为

$$PMT=PV\frac{i}{1-(1+i{)}^{-n}}.$$

每一期均满足

$$\begin{array}{rl}{\text{interest}}_t& =i\times {\text{balance}}_{t-1},\\ {\text{principal}}_t& =PMT-{\text{interest}}_t,\\ {\text{balance}}_t& ={\text{balance}}_{t-1}-{\text{principal}}_t.\end{array}$$

随着未偿本金下降，利息部分逐期减少，本金部分逐期增加。

8.1 Mortgage Example / 抵押贷款例题

房价为 $1,000,000$ 元，首付比例为 $10\%$，贷款期限为 360 个月，月利率为 $0.5\%$：

$$PV=1,000,000(1-0.10)=900,000.$$

Three discount points 等于贷款额的 $3\%$：

$$\text{points}=900,000\times 0.03=27,000.$$

借款人初始实际获得的净资金为

$$900,000-27,000=873,000,$$

但仍按 $900,000$ 的名义本金偿还贷款，因此 points 会提高贷款的有效融资成本。

每月还款额为

$$\begin{array}{rl}PMT& =900,000\frac{0.005}{1-(1.005{)}^{-360}}\\ & \approx 5,\mathrm{395.95.}\end{array}$$

第一个月：

$$\begin{array}{rl}{\text{interest}}_1& =900,000\times 0.005=4,500,\\ {\text{principal}}_1& =5,395.95-4,500=895.95,\\ {\text{balance}}_1& =900,000-895.95=899,\mathrm{104.05.}\end{array}$$

课件数值核对

第 62 页把首月末余额写成 $889,104.04$，正确结果约为 $899,104.05$。这是减法中的位数错误。

8.2 Outstanding Balance after 60 Payments / 60 期后的未偿余额

支付 60 期后，还剩 300 期。第 60 期末的未偿本金等于剩余 300 笔付款在该时点的现值：

$$\begin{array}{rl}{B}_{60}& =PMT\frac{1-(1.005{)}^{-300}}{0.005}\\ & \approx 837,\mathrm{489.21.}\end{array}$$

前 60 期总付款约为

$$5,395.9547\times 60\approx 323,\mathrm{757.28.}$$

其中本金减少

$$900,000-837,489.21=62,510.79,$$

利息支出约为

$$323,757.28-62,510.79=261,\mathrm{246.49.}$$

前期付款中利息占比较高，是因为利息按期初未偿余额计算，而初期本金仍然很大。

8.3 Early Repayment Decisions / 提前还款决策

判断是否提前还贷时，不能把未来几十年的名义利息简单相加并称为“节省”。正确比较需要：

1. 把提前还款与继续还款的现金流放在时间线上；
2. 使用与风险相匹配的贴现率计算现值；
3. 考虑税收、提前还款费用和替代投资机会；
4. 比较风险调整后的净现值，而非未贴现现金总额。

9. Exchange Rates and Time Value of Money / 汇率与货币时间价值

跨币种估值必须满足：现金流和贴现率使用同一种货币。可以先在各自货币下计算现值，再用估值日即期汇率换算。

9.1 Two Projects / 两个项目

美国项目 $U$ 初始投资 $10,000$ 美元，未来 5 年每年产生 $6,000$ 美元，美元利率为 $6\%$：

$$\begin{array}{rl}NP{V}_U& =6,000\frac{1-(1.06{)}^{-5}}{0.06}-10,000\\ & \approx 15,274.18\text{USD}.\end{array}$$

日本项目 $J$ 初始投资 $1,000,000$ 日元，未来 5 年每年产生 $575,000$ 日元，日元利率为 $4\%$：

$$\begin{array}{rl}NP{V}_J& =575,000\frac{1-(1.04{)}^{-5}}{0.04}-1,000,000\\ & \approx 1,559,797.84\text{JPY}.\end{array}$$

若即期汇率为 $0.01$ USD/JPY，则

$$NP{V}_J\approx 15,597.98\text{USD}.$$

在忽略汇率风险和其他差异的条件下，项目 $J$ 的现值略高。但如果未来现金流最终要换成美元，仍需分析汇率风险或使用远期合约套期保值。

课件数值核对

第 74–75 页的日元 NPV 排版存在多余数字。按课件参数计算，应约为 $1,559,797.84$ 日元，即 $15,597.98$ 美元。

10. Inflation and Discounted Cash Flow / 通货膨胀与贴现现金流

设名义利率为 $i_n$，实际利率为 $i_r$，通货膨胀率为 $\pi$。精确 Fisher relation 为

$$\boxed{1+i_n=(1+i_r)(1+\pi )}.$$

因此

$$\boxed{i_r=\frac{i_n-\pi }{1+\pi }}.$$

低通胀下常用近似为

$$i_r\approx i_n-\pi .$$

若名义利率为 $8\%$、通胀率为 $5\%$，则

$$i_r=\frac{0.08-0.05}{1.05}\approx 2.86\%.$$

10.1 Nominal Consistency Rule / 名义一致性原则

估值时必须保持口径一致：

$$\text{nominal cash flows}⟷\text{nominal discount rate},$$ $$\text{real cash flows}⟷\text{real discount rate}.$$

混用实际现金流与名义贴现率，或名义现金流与实际贴现率，会系统性扭曲现值。

10.2 Nominal Security versus Inflation-Indexed Security / 名义证券与通胀指数证券

若名义存款收益率为 $8\%$，另一项资产提供 $3\%$ 的实际收益率，则精确的 break-even inflation 满足

$$1.08=1.03(1+{\pi }^{\ast }).$$

因此

$${\pi }^{\ast }=\frac{1.08}{1.03}-1\approx 4.85\%.$$

用 $i_n\approx i_r+\pi$ 的近似计算时，临界通胀约为 $5\%$。

10.3 Unexpected Inflation and Borrowers / 意外通胀与借款人

固定名义利率贷款的实际偿还成本为

$$\frac{1+i_n}{1+\pi }-1.$$

实际通胀高于签约时预期，会降低债务的实际价值，因此有利于借款人、不利于贷款人；实际通胀低于预期则相反。

11. Taxes and After-Tax Returns / 税收与税后收益

若利息收入按边际税率 $\tau$ 纳税，且没有其他抵扣，税后利率为

$$\boxed{i_{\text{after-tax}}=i_{\text{before-tax}}(1-\tau )}.$$

投资决策应最大化风险调整后的税后收益，而不是单纯最小化纳税额。

如果免税债券收益率为 $i_m$，应税债券的税前收益率至少要达到

$$\boxed{i_{\text{taxable equivalent}}=\frac{i_m}{1-\tau }}.$$

例如，免税债券收益率为 $6\%$，边际税率为 $20\%$，则无差异的应税收益率为

$$\frac{0.06}{1-0.20}=7.5\%.$$

12. Review Points / 复习要点

1. 不同日期的现金流必须先移动到同一估值日期，才能比较或相加。
2. APR 不包含年内复利效果；比较报价时应换算为 EFF。
3. 普通年金第一笔付款在一期后，annuity due 第一笔付款在今天，后者价值是前者的 $(1+i)$ 倍。
4. 永续年金公式要求 $i>0$；增长永续年金公式要求 $i>g$。
5. 贷款还款额由利息与本金构成，未偿本金等于剩余付款在当前时点的现值。
6. 提前还贷不能依据未贴现利息总额判断，必须比较两套现金流的现值与机会成本。
7. 跨币种估值时，现金流与贴现率必须使用相同货币。
8. 名义现金流对应名义贴现率，实际现金流对应实际贴现率。
9. 税收比较应使用税后收益或 taxable-equivalent yield。

13. Glossary / 术语表

Term	中文	简要含义
Compounding	复利	将利息计入本金并继续产生利息
Discounting	贴现	将未来现金流换算为当前价值
Annual percentage rate	名义年利率	未把年内复利效果计入报价百分比的年利率
Effective annual rate	有效年利率	计入一年内全部复利后的实际年增长率
Ordinary annuity	普通年金	第一次付款发生在一期后的等额现金流序列
Annuity due	期初年金	第一次付款发生在今天的等额现金流序列
Perpetuity	永续年金	无限期持续支付的现金流序列
Growing perpetuity	增长永续年金	按固定增长率永久增长的现金流序列
Loan amortization	贷款摊销	通过定期付款逐步偿还贷款本金
Discount points	贷款点数	按贷款本金比例在放款时收取的预付费用
Fisher relation	Fisher 关系	名义利率、实际利率与通胀率之间的精确关系
Taxable-equivalent yield	应税等价收益率	与免税收益率产生相同税后回报的应税收益率