2026-09-23-Note

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前置内容：二元函数的连续性
课堂材料：17-1.pptx（第十七章 §1 多元函数的微分学）

可微性与全微分

1. 可微性的定义

设二元函数 $z=f(x,y)$ 定义在点

$$P_0=(x_0,y_0)$$

的某邻域内。自变量取得增量 $\Delta x,\Delta y$ 后，函数的全增量为

$$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0).$$

令

$$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}.$$

Definition

若存在只依赖于 $P_0$、与 $\Delta x,\Delta y$ 无关的常数 $A,B$，使

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho ),\rho \to 0,$$

则称 $f$ 在 $P_0$ 处可微。

线性部分

$$df{|}_{P_0}=Adx+Bdy$$

称为 $f$ 在 $P_0$ 处的全微分。可微性要求误差相对于总距离 $\rho$ 是高阶无穷小，而不只是分别控制 $\Delta x$ 或 $\Delta y$。

定义也可写为

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\alpha \Delta x+\beta \Delta y,$$

其中当 $(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$ 时，

$$\alpha \to 0,\beta \to 0.$$

这是因为

$$|\alpha \Delta x+\beta \Delta y|\le (|\alpha |+|\beta |)\rho =o(\rho ).$$

2. 全微分与线性近似

若 $f$ 在 $P_0$ 可微，则

$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+A(x-x_0)+B(y-y_0)+o(\rho ),$$

其中

$$\rho =\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}.$$

因此在 $P_0$ 附近，函数可用一次函数近似：

$$f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+A(x-x_0)+B(y-y_0).$$

2.1 例：$f(x,y)=xy$

在 $P_0=(x_0,y_0)$ 处，

$$\begin{array}{rl}\Delta f& =(x_0+\Delta x)(y_0+\Delta y)-x_0{y}_0\\ & =y_0\Delta x+x_0\Delta y+\Delta x\Delta y.\end{array}$$

由

$$2|\Delta x\Delta y|\le (\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2={\rho }^2$$

可知

$$\Delta x\Delta y=o(\rho ).$$

故 $f$ 在任意点可微，且

$$df=y_{0}dx+x_{0}dy.$$

3. 偏导数

3.1 定义

Definition

固定 $y=y_0$，若极限

$$f_x(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

存在，则称其为 $f$ 在 $P_0$ 关于 $x$ 的偏导数。

固定 $x=x_0$，若极限

$$f_y(x_0,y_0)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$

存在，则称其为 $f$ 在 $P_0$ 关于 $y$ 的偏导数。

常用记号为

$$\begin{array}{rl}{f}_x& =\frac{\partial f}{\partial x}={\partial }_{x}f,\\ f_y& =\frac{\partial f}{\partial y}={\partial }_{y}f.\end{array}$$

偏导数只考察沿坐标轴方向的变化。若 $P_0$ 位于定义域边界，并且相应的坐标截线在 $P_0$ 附近不属于定义域，则通常意义下的偏导数可能无法定义。

3.2 几何意义

曲面

$$z=f(x,y)$$

与平面 $y=y_0$ 相交得到一条平面曲线。$f_x(x_0,y_0)$ 是该曲线在 $P_0$ 对应点处的切线斜率。类似地，$f_y(x_0,y_0)$ 是曲面与平面 $x=x_0$ 的截线斜率。

3.3 计算例

若

$$f(x,y)=x^3+2x^{2}y-y^3,$$

则

$$\begin{array}{rl}{f}_x(x,y)& =3x^2+4xy,\\ f_y(x,y)& =2x^2-3y^2.\end{array}$$

在 $(1,3)$ 处，

$$f_x(1,3)=15,f_y(1,3)=-25.$$

若 $z=x^y$，$x>0$，利用 $x^y=e^{y\ln x}$ 得

$$\begin{array}{rl}{z}_x& =y{x}^{y-1},\\ z_y& =x^y\ln x.\end{array}$$

若

$$u=\sin (x+y^2-e^z),$$

则

$$\begin{array}{rl}{u}_x& =\cos (x+y^2-e^z),\\ u_y& =2y\cos (x+y^2-e^z),\\ u_z& =-e^z\cos (x+y^2-e^z).\end{array}$$

4. 可微的必要条件

4.1 可微必连续

Theorem

若 $f$ 在 $P_0$ 处可微，则 $f$ 在 $P_0$ 处连续。

Proof

由可微定义，

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho ).$$

当 $\rho \to 0$ 时，$\Delta x\to 0$、$\Delta y\to 0$，因此右端趋于 $0$，即

$$\Delta z\to 0.$$

所以

$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\to f(x_0,y_0).$$

连续是可微的必要条件，但不是充分条件。

4.2 定理 17.1

Theorem

若 $f$ 在 $P_0=(x_0,y_0)$ 处可微，则偏导数 $f_x(P_0)$、$f_y(P_0)$ 都存在，并且

$$A=f_x(P_0),B=f_y(P_0).$$

因此全微分唯一确定为

$$df{|}_{P_0}=f_x(P_0)dx+f_y(P_0)dy.$$

Proof

在可微定义中令 $\Delta y=0$，则 $\rho =|\Delta x|$，且

$$\Delta z=A\Delta x+o(|\Delta x|).$$

两边除以 $\Delta x$ 并令 $\Delta x\to 0$，得到

$$f_x(P_0)=A.$$

同理，令 $\Delta x=0$ 可得 $f_y(P_0)=B$。

Example

函数

$$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$$

在原点关于 $x$ 的差商为

$$\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\frac{|\Delta x|}{\Delta x},$$

其左右极限不同，所以 $f_x(0,0)$ 不存在。由定理 17.1，$f$ 在原点不可微。

5. 偏导数存在但不可微

考虑

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$$

沿坐标轴有

$$f(x,0)=f(0,y)=0,$$

故

$$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0.$$

若它在原点可微，则线性主部只能为 $0$，并应满足

$$\frac{f(\Delta x,\Delta y)}{\rho }\to 0.$$

但

$$\frac{f(\Delta x,\Delta y)}{\rho }=\frac{\Delta x\Delta y}{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}.$$

沿 $\Delta y=\Delta x$，上式恒等于 $1/2$，所以极限不为 $0$。因此该函数在原点偏导数都存在，却不可微。

这个反例说明：两个偏导数只反映坐标轴方向，不能控制所有方向上的一阶变化。

6. 可微的充分条件

6.1 定理 17.2

Theorem

若 $f_x$、$f_y$ 在 $P_0$ 的某邻域内存在，并且都在 $P_0$ 连续，则 $f$ 在 $P_0$ 可微。

Proof

把全增量拆成两段：

$$\begin{array}{rl}\Delta z=& f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)\\ & +f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0).\end{array}$$

分别对 $x$、$y$ 使用一元函数的 Lagrange mean value theorem，存在 $0<{\theta }_1,{\theta }_2<1$，使

$$\begin{array}{rl}\Delta z=& f_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta x\\ & +f_y(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y)\Delta y.\end{array}$$

由偏导数在 $P_0$ 连续，可写成

$$\begin{array}{rl}{f}_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)& =f_x(P_0)+\alpha ,\\ f_y(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y)& =f_y(P_0)+\beta ,\end{array}$$

其中 $\alpha ,\beta \to 0$。于是

$$\Delta z=f_x(P_0)\Delta x+f_y(P_0)\Delta y+\alpha \Delta x+\beta \Delta y.$$

最后一部分是 $o(\rho )$，故 $f$ 在 $P_0$ 可微。

6.2 连续偏导数不是必要条件

考虑

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$$

沿坐标轴可得

$$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0.$$

又因

$$\left|\frac{f(\Delta x,\Delta y)}{\rho }\right|=\left|\rho \sin \frac{1}{\rho }\right|\le \rho \to 0,$$

所以 $f$ 在原点可微。然而其偏导函数在原点附近含有振荡项，不能在原点连续。

因此“偏导数在邻域内存在且在该点连续”是便于验证的充分条件，不是可微的必要条件。

7. 二元函数的中值公式

7.1 定理 17.3

Theorem

设 $f_x$、$f_y$ 在 $P_0=(x_0,y_0)$ 的某邻域内存在。对该邻域中的点 $(x,y)$，存在

$$\begin{array}{rl}\xi & =x_0+{\theta }_1(x-x_0),\\ \eta & =y_0+{\theta }_2(y-y_0),\end{array}0<{\theta }_1,{\theta }_2<1,$$

使得

$$\begin{array}{rl}f(x,y)-f(x_0,y_0)=& f_x(\xi ,y)(x-x_0)\\ & +f_y(x_0,\eta )(y-y_0).\end{array}$$

该公式来自把增量沿折线

$$(x_0,y_0)\to (x_0,y)\to (x,y)$$

分成两个一元增量，再分别应用 Lagrange mean value theorem。中间点 $\xi$ 与 $\eta$ 一般不同。

8. 连续性、偏导数与可微性

这些条件之间的关系为：

$$\text{偏导数在邻域内存在且在该点连续}⟹\text{可微}⟹\text{连续且偏导数存在}.$$

逆命题通常不成立：

• 连续不一定有偏导数，例如 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 在原点连续但偏导数不存在；
• 偏导数存在不一定连续，也不一定可微；
• 连续且偏导数存在仍不一定可微；
• 可微不要求偏导函数在该点连续。

判断可微性时，定义中的关键量是

$$\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)-f_x(P_0)\Delta x-f_y(P_0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}.$$

若该比值趋于 $0$，则函数在 $P_0$ 可微；只检查坐标轴上的两个差商并不足够。