2026-08-06-Note

2026-08-06-Note · Data 100: Visualization I（下）：箱线图、小提琴图与 KDE

讲义： 接 2026-08-05-Note（前半：柱状图、直方图、偏度、离群值）。

7. 箱线图与并排箱线图

Cell 33：单个箱线图

sns.boxplot(data=wb, y='Gross domestic product: % growth : 2016');

• sns.boxplot(data=wb, y='...')：画 GDP 增长率的箱线图。箱体下边 Q1、上边 Q3、中间线是 median，须线（whiskers）延伸到正常范围边界。

箱线图各元素说明（来自讲义配图）：

Cell 35：并排箱线图

sns.boxplot(data=wb, x="Continent", y='Gross domestic product: % growth : 2016');

• 同时指定 x（分类变量 Continent）和 y（定量变量 GDP 增长率），seaborn 就画出跨大洲的并排箱线图，方便比较分布。

8. 小提琴图（Violin Plot）

Cell 37

sns.violinplot(data=wb, y="Gross national income per capita, Atlas method: $: 2016");

• sns.violinplot(data=wb, y=gni)：小提琴图 = 箱线图 + 两侧平滑密度曲线。宽度表示该取值附近的数据密度，所以它能显示多峰（modality），而箱线图不能。

9. KDE（核密度估计）

Cell 39：重新初始化并重命名两列

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import warnings 
 
warnings.filterwarnings("ignore", "use_inf_as_na")
 
wb = pd.read_csv("data/world_bank.csv", index_col=0)
wb = wb.rename(columns={'Antiretroviral therapy coverage: % of people living with HIV: 2015':"HIV rate",
                       'Gross national income per capita, Atlas method: $: 2016':'gni'})
wb.head()

• 前五行：把需要的库全部导入一遍（相当于新开 kernel 的初始化）；
• warnings.filterwarnings(...)：同上，静音弃用警告；
• wb = pd.read_csv(...)：重新读数据；
• wb.rename(columns={...})：一次把两个长列名改成 HIV rate 和 gni；
• wb.head()：确认数据可用。

Cell 40：displot = 直方图 + KDE 一步画

sns.displot(data = wb, x = 'HIV rate', \
                       kde = True, stat = "density")
 
plt.title("Distribution of HIV rates");

• sns.displot(data=wb, x='HIV rate', kde=True, stat="density")：displot 是”distribution plot”；kde=True 表示在直方图上叠加 KDE 曲线；stat="density" 让直方图面积=比例；
• 末尾 \：Python 行继续符（这行代码在 notebook 里跨两行显示）；
• plt.title(...)：加标题。

曲线越高 = 抽到该值的概率越大；KDE 曲线下面积恒为 1。

Cell 42：toy 数据的 rug plot

data = [2.2, 2.8, 3.7, 5.3, 5.7]
 
sns.rugplot(data, height=0.3)
 
plt.xlabel("Data")
plt.ylabel("Density")
plt.xlim(-3, 10)
plt.ylim(0, 0.5);

• data = [2.2, 2.8, 3.7, 5.3, 5.7]：手工构造 5 个数据点，方便演示 KDE 构造过程；
• sns.rugplot(data, height=0.3)：rug plot 在每个数据点位置画一条竖线（地毯图）；
• plt.xlabel/ylabel/xlim/ylim：轴标签和坐标范围（固定范围方便后面对比）。

Cell 44：kdeplot + histplot 叠加

plt.xlabel("Data")
plt.xlim(-3, 10)
plt.ylim(0, 0.5)
 
sns.kdeplot(data, bw_method=0.65) 
sns.histplot(data, stat='density', bins=2);

• sns.kdeplot(data, bw_method=0.65)：画 KDE 曲线；bw_method=0.65 控制带宽（bandwidth），这里相当于 α；
• sns.histplot(data, stat='density', bins=2)：叠加一个 2 箱直方图做参照。

这条平滑曲线就是我们要”手工复现”的目标。

Cell 46：一步版 histplot + kde

plt.xlabel("Data")
plt.xlim(-3, 10)
plt.ylim(0, 0.5)
 
sns.histplot(data, bins=2, kde=True, stat="density", kde_kws=dict(cut=3, bw_method=0.65));

• kde=True：在直方图里直接附带 KDE；
• kde_kws=dict(cut=3, bw_method=0.65)：传给底层 kdeplot 的关键字——cut=3 让曲线在数据范围外再延伸 3 倍带宽，bw_method=0.65 指定带宽。

Cell 48：高斯核函数 + 单个核

def gaussian_kernel(x, z, a):
    return (1/np.sqrt(2*np.pi*a**2)) * np.exp((-(x - z)**2 / (2 * a**2)))
 
# Plot our datapoint
sns.rugplot([2.2], height=0.3)
 
# Plot the kernel
x = np.linspace(-3, 10, 1000)
plt.plot(x, gaussian_kernel(x, 2.2, 1))
 
plt.xlabel("Data")
plt.ylabel("Density")
plt.xlim(-3, 10)
plt.ylim(0, 0.5);

• def gaussian_kernel(x, z, a)：定义高斯核函数——x 是曲线上任意位置，z 是核的中心（某个数据点），a 是带宽 α（高斯的标准差）；
• return (1/np.sqrt(2*np.pi*a**2)) * np.exp(-(x - z)**2 / (2*a**2))：正态分布概率密度公式，np.sqrt 开方、np.exp 指数，完全向量化（x 可以是数组）；
• sns.rugplot([2.2], height=0.3)：标记数据点 2.2；
• x = np.linspace(-3, 10, 1000)：在 [-3, 10] 上生成 1000 个等距点，作为曲线的横坐标；
• plt.plot(x, gaussian_kernel(x, 2.2, 1))：画出以 2.2 为中心、α=1 的高斯核；
• 后面四行：轴标签和范围。

核函数就是”描述这个数据点附近随机采样概率”的曲线：在 2.2 处最高，两侧衰减。

Cell 50：三个 KDE 辅助函数 + 未归一化核

def create_kde(kernel, pts, a):
    def f(x):
        output = 0
        for pt in pts:
            output += kernel(x, pt, a)
        return output / len(pts) # Normalization factor
    return f
 
def plot_kde(kernel, pts, a):
    f = create_kde(kernel, pts, a)
    x = np.linspace(min(pts) - 5, max(pts) + 5, 1000)
    y = [f(xi) for xi in x]
    plt.plot(x, y);
    
def plot_separate_kernels(kernel, pts, a, norm=False):
    x = np.linspace(min(pts) - 5, max(pts) + 5, 1000)
    for pt in pts:
        y = kernel(x, pt, a)
        if norm:
            y /= len(pts)
        plt.plot(x, y)
    
    plt.show();
    
plt.xlim(-3, 10)
plt.ylim(0, 0.5)
plt.xlabel("Data")
plt.ylabel("Density")
 
plot_separate_kernels(gaussian_kernel, data, a = 1)

• create_kde(kernel, pts, a)：返回一个闭包函数 f(x)——
  • 内部 for pt in pts: output += kernel(x, pt, a)：把所有核在 x 处的值相加；
  • return output / len(pts)：除以数据点个数 n，即归一化（否则总面积 = n）。
• plot_kde(kernel, pts, a)：调用 create_kde 得到 f，在 [min(pts)-5, max(pts)+5] 上采样 1000 个点，逐点求值后画出最终 KDE 曲线；
• plot_separate_kernels(kernel, pts, a, norm=False)：单独画出每个核（每个数据点一条曲线）；norm=True 时把每条曲线除以 n；
• 末尾几行设置坐标范围后调用 plot_separate_kernels(gaussian_kernel, data, a=1)：画出 5 个未归一化的高斯核。

注意：这些核直接相加的话，总面积是 5（每个核面积 1），不是合法的密度曲线。

Cell 52：归一化后的核

plt.xlim(-3, 10)
plt.ylim(0, 0.5)
plt.xlabel("Data")
plt.ylabel("Density")
 
# The `norm` argument specifies whether or not to normalize the kernels
plot_separate_kernels(gaussian_kernel, data, a = 1, norm = True)

• 前三行设置坐标范围与标签；
• plot_separate_kernels(gaussian_kernel, data, a=1, norm=True)：与 Cell 50 相同，只是 norm=True——每个核乘以 1/5，曲线整体变矮、变”胖”。

Cell 54：最终 KDE = 归一化核之和

plt.xlim(-3, 10)
plt.ylim(0, 0.5)
plt.xlabel("Data")
plt.ylabel("Density")
 
plot_kde(gaussian_kernel, data, a=1)

• 坐标设置同上；
• plot_kde(gaussian_kernel, data, a=1)：把 5 个归一化核相加，得到最终 KDE 曲线——与 Cell 44 里 sns.kdeplot 画出的曲线一致。

KDE 三步：每个点放核 → 归一化（×1/n）→ 相加。数学形式：

$$f_{\alpha }(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{K}_{\alpha }(x,x_i)$$

Cell 56：箱形核（Boxcar Kernel）

def boxcar_kernel(alpha, x, z):
    return (((x-z)>=-alpha/2)&((x-z)<=alpha/2))/alpha
 
xs = np.linspace(-5, 5, 200)
alpha=1
kde_curve = [boxcar_kernel(alpha, x, 0) for x in xs]
plt.plot(xs, kde_curve);

• def boxcar_kernel(alpha, x, z)：定义箱形核——中心 z、带宽 α；
• return (((x-z)>=-alpha/2)&((x-z)<=alpha/2))/alpha：|x-z| ≤ α/2 时布尔值为 True（数值 1），除以 α 得 1/α；窗口外为 False（数值 0）。整个表达式自动把布尔转成数值；
• xs = np.linspace(-5, 5, 200)：横坐标网格；
• alpha = 1：带宽设为 1；
• kde_curve = [boxcar_kernel(alpha, x, 0) for x in xs]：用列表推导逐点计算以 0 为中心的箱形核；
• plt.plot(xs, kde_curve)：画出来就是矩形窗。

只要函数非负且积分为 1，就能当核——高斯核和箱形核只是两种选择。

10. 踩坑记录

• 定量变量不能直接画 countplot：会对每个唯一值画一根柱，造成 overplotting，完全无法解读；
• 直方图看面积、不看高度：stat="density"（或 density=True）之后，y 轴是 density，柱子面积才等于数据比例；
• matplotlib 不自动加轴标签：plt.xlabel / plt.ylabel 必须自己写；seaborn 会自动处理；
• 多条件布尔选择要加括号：(df['a'] < q1) | (df['a'] > q3)，且用 & / | 而不是 and / or；
• bins 数量影响结论：同一分布 5 bins 单峰、10 bins 双峰、20 bins 看不清——判断峰数要小心；
• df.rename() 返回新对象：不重新赋值 wb = wb.rename(...) 就不会生效；
• KDE 不归一化总面积 = n：create_kde 里必须 output / len(pts)；
• hue 用了颜色就必须有图例：seaborn 自动生成，自己用 matplotlib 时要手动加；
• 小提琴图的宽度有意义、箱线图的宽度无意义：选哪个取决于”密度”是否是你想强调的信息。

11. 函数速查

函数 / 方法	作用
wb['col'].value_counts()	统计唯一值频数
.plot(kind='bar')	pandas 内置柱状图（功能有限）
plt.bar(x, y)	matplotlib 柱状图
sns.countplot(data=..., x=...)	seaborn 分类频数柱状图
plt.hist(x, density=True, bins=...)	matplotlib 直方图，返回 (densities, bins, patches)
sns.histplot(data, x=..., stat="density", bins=..., hue=...)	seaborn 直方图（可分组叠加）
sns.boxplot(data, x=..., y=...)	箱线图（x 缺省时单变量）
sns.violinplot(data, x=..., y=...)	小提琴图
sns.kdeplot(x, bw_method=...)	KDE 曲线
sns.rugplot(x, height=...)	数据点地毯图
sns.displot(data, x=..., kde=True, stat="density")	直方图 + KDE 一步画
np.percentile(x, [25, 50, 75])	计算四分位数
df.rename(columns={旧: 新})	重命名列
df.loc[布尔掩码, '新列'] = 值	按条件填充新列