2026-09-16-Note

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相关整理：第二章课堂手写笔记整理
课程资料：CHAP02, pp.43–91；Mankiw Macroeconomics 12e

Price Indexes, Inflation, and the Labor Market / 价格指数、通货膨胀与劳动力市场

1. Chain-Weighted Real GDP / 链式加权实际 GDP

上一节分别使用 $t-1$ 期价格和 $t$ 期价格计算了同一数量变化：

$$(1+g_t{)}_{t-1},(1+g_t{)}_t.$$

1.1 Combining Weights from Adjacent Years / 合成相邻两年的权重

Chain-weighted growth factor 取两种增长因子的几何平均：

$$1+g_t={\left[(1+g_t{)}_t(1+g_t{)}_{t-1}\right]}^{1/2}.$$

几何平均对两个方向的比较保持对称：既不会只依赖上一期价格，也不会只依赖当期价格。

1.2 Recovering Levels from Growth Rates / 从增长率还原水平值

先选择参考年 $r$，令该年实际 GDP 等于名义 GDP，再把链式增长率逐年连接：

$$RGD{P}_r^{(r)}=GD{P}_r,$$ $$RGD{P}_t^{(r)}=GD{P}_r\prod _{s=r+1}^t(1+g_s).$$

讲义以 $r=t-4$ 为例：

$$RGD{P}_t=(1+g_t)(1+g_{t-1})(1+g_{t-2})(1+g_{t-3})GD{P}_{t-4}.$$

所得实际 GDP 以参考年 $r$ 的货币价值表示。参考年只决定水平值的单位；各期 chain-weighted growth rates 不因固定基年的选择而改变。

2. GDP Deflator / GDP 平减指数

Definition

The inflation rate is the percentage increase in the overall level of prices.

One measure of the price level is the GDP deflator:

$${\text{GDP Deflator}}_t=100\times \frac{{\text{Nominal GDP}}_t}{{\text{Real GDP}}_t}.$$

相应的通胀率为

$${\pi }_t=\frac{{\text{Deflator}}_t-{\text{Deflator}}_{t-1}}{{\text{Deflator}}_{t-1}}\times 100\%.$$

2.1 Fixed-Weight Representation / 固定权重表示

若实际 GDP 使用基年 $B$ 的固定价格，记

$$NGD{P}_t=\sum _{i=1}^n{P}_{it}{Q}_{it},RGD{P}_t^{(B)}=\sum _{i=1}^n{P}_{iB}{Q}_{it},$$

则

$$\begin{array}{rl}\frac{{\text{Deflator}}_t}{100}& =\frac{{\sum }_{i=1}^n{P}_{it}{Q}_{it}}{{\sum }_{i=1}^n{P}_{iB}{Q}_{it}}.\end{array}$$

把 $P_{it}$ 写成 $P_{iB}(P_{it}/P_{iB})$，可得

$$\begin{array}{rl}\frac{{\text{Deflator}}_t}{100}& =\sum _{i=1}^n{\gamma }_{it}\left(\frac{P_{it}}{P_{iB}}\right),\end{array}$$

其中

$${\gamma }_{it}=\frac{P_{iB}{Q}_{it}}{{\sum }_{j=1}^n{P}_{jB}{Q}_{jt}},\sum _{i=1}^n{\gamma }_{it}=1.$$

因此 GDP deflator 是各产品 price relative $P_{it}/P_{iB}$ 的加权平均。权重包含当期数量 $Q_{it}$，会随当前生产结构变化，所以在固定基年 real GDP 下，它表现为 Paasche index（当期数量加权价格指数）。

2.2 Chain-Weighted Deflator / 链式加权平减指数

若 real GDP 采用 chain weighting，也可以用同样的“nominal / real”方式构造 deflator。其数量权重逐年更新，并综合当年与上年的数量信息，避免价格指数长期依赖过时的固定篮子。

3. Percentage-Change Approximations / 百分比变化近似

当百分比变化不大时，有两个常用近似。

3.1 Product Rule / 乘积法则

$$\%\Delta (XY)\approx \%\Delta X+\%\Delta Y.$$

例如，时薪上升 $5\%$、工作时长上升 $7\%$，则工资收入近似上升

$$5\%+7\%=12\%.$$

精确增长率为 $(1.05)(1.07)-1=12.35\%$；近似式忽略了两个变化率的乘积项。

3.2 Quotient Rule / 商法则

$$\%\Delta \left(\frac{X}{Y}\right)\approx \%\Delta X-\%\Delta Y.$$

由于

$$\text{GDP Deflator}=100\times \frac{NGDP}{RGDP},$$

若 nominal GDP 上升 $9\%$、real GDP 上升 $4\%$，则通胀率近似为

$$9\%-4\%=5\%.$$

4. Identifying a Recession / 经济衰退的判定

常见经验法则是“real GDP 连续两个季度下降”，但这不是完整的官方判定标准。

NBER approach

NBER 的商业周期判定更强调：经济活动显著下降、影响范围广、持续数月以上，并综合观察月度指标，例如：

• industrial production；
• employment；
• real income；
• wholesale and retail trade。

因此，recession 是多维经济活动的共同收缩，而不只是单个季度 GDP 数字触发的机械标签。

5. Consumer Price Index / 消费者价格指数

Definition

The consumer price index (CPI) is a measure of the overall level of prices. It uses the price of a fixed basket of goods purchased by the typical consumer.

CPI 由 Bureau of Labor Statistics, BLS 发布。

主要用途包括：

• 跟踪典型家庭生活成本的变化；
• 对工资、养老金等合同进行 cost-of-living adjustment（COLA）；
• 把不同时期的货币金额转换到可比价格水平。

5.1 Construction / 构造过程

1. 调查消费者，确定典型消费篮子的组成；
2. 每月收集篮子中各项目的价格并计算篮子总成本；
3. 用当月成本与基期成本之比构造 CPI。

设 $C_i$ 为篮子中商品 $i$ 的固定数量，$P_{it}$ 为其在 $t$ 期的价格，则

$$E_t=\sum _{i=1}^n{C}_i{P}_{it},E_B=\sum _{i=1}^n{C}_i{P}_{iB},$$ $$CP{I}_t=100\times \frac{E_t}{E_B}.$$

进一步可写为

$$\begin{array}{rl}\frac{CP{I}_t}{100}& =\sum _{i=1}^n{\gamma }_{iB}\left(\frac{P_{it}}{P_{iB}}\right),\end{array}$$

其中基期权重为

$${\gamma }_{iB}=\frac{C_i{P}_{iB}}{{\sum }_{j=1}^n{C}_j{P}_{jB}},\sum _{i=1}^n{\gamma }_{iB}=1.$$

CPI 是各商品价格相对数的加权平均；权重等于该商品在基期篮子支出中的占比。由于篮子数量固定，CPI 属于 Laspeyres index。

5.2 Upward Bias in the CPI / CPI 的向上偏差

1. Substitution bias：固定篮子无法及时反映消费者转向相对价格下降商品的行为；
2. New goods：新产品扩大选择并提高货币的实际购买价值，但固定篮子不能立刻体现这部分福利改善；
3. Unmeasured quality change：质量提高意味着同样货币购买到更高价值，但质量调整往往不完全。

讲义指出，1995 年专家委员会估计 CPI 每年高估通胀约 $1.1$ 个百分点；BLS 随后进行了修正，目前讲义给出的判断是偏差可能低于每年 $1\%$。

6. Comparing Price Indexes / 价格指数比较

6.1 CPI and the GDP Deflator / CPI 与 GDP 平减指数

Dimension	CPI	GDP deflator
Coverage	家庭消费的商品与服务	国内生产的全部最终产品与服务
Imported consumer goods	包含	不包含，因为不属于国内生产
Domestically produced capital goods	不包含	包含
Basket / weights	固定消费篮子	随当前国内生产结构变化
Index type in the fixed-base setup	Laspeyres	Paasche

因此，两者衡量的“总体价格”并不相同：CPI 更接近消费者生活成本，GDP deflator 更接近国内总产出的价格。

6.2 PCE Deflator / PCE 平减指数

Definition

The Personal Consumption Expenditures Price Index (PCE price index) is the ratio of nominal to real consumer spending.

它与 CPI 的共同点：

• 只覆盖消费支出；
• 包含进口消费品。

它与 GDP deflator 的共同点：

• 篮子与权重会随时间改变，能够反映消费替代。

讲义指出，Federal Reserve 更偏好 PCE price index。

6.3 Core Inflation / 核心通胀

Definition

Inflation measures that exclude the food and energy sectors are known as core inflation measures.

BLS 与 BEA 都发布 core CPI 和 core PCE。食品与能源价格短期波动较大，排除它们有助于观察更持久的 underlying price trend，但 core inflation 并不代表家庭不需要购买这些项目。

7. Labor Market Statistics / 劳动力市场统计

7.1 Population Categories / 人口分类

Category	Definition
Employed, $E$	Working at a paid job
Unemployed, $U$	Not employed but looking for a job
Labor force, $L$	The amount of labor available for producing goods and services; all employed plus unemployed persons, $L=E+U$
Not in the labor force	Not employed and not looking for work

“没有工作”不自动等于 unemployed；只有正在求职者才计入 $U$，其余没有工作者属于 not in the labor force。

7.2 Two Core Ratios / 两个核心比率

Definition

The unemployment rate is the percentage of the labor force that is unemployed.

The labor-force participation rate is the fraction of the adult population that participates in the labor force, that is, is working or looking for work.

对应公式为：

$$u=\frac{U}{L}\times 100\%.$$

劳动力参与率为成年人口 $POP$ 中进入劳动力市场的比例：

$$LFPR=\frac{L}{POP}\times 100\%.$$

BLS 主要通过 Current Population Survey, CPS（家庭调查）测量这些概念。

Example: U.S. Labor-Force Data in February 2021 / 例：2021 年 2 月美国劳动力数据

给定

$$E=150.24,U=9.72,POP=260.66$$

（单位均为 million），则

$$L=E+U=150.24+9.72=159.96,$$ $$u=\frac{9.72}{159.96}\times 100\%\approx 6.1\%,$$ $$LFPR=\frac{159.96}{260.66}\times 100\%\approx 61.37\%.$$

7.3 Percentage Changes in Labor-Force Ratios / 劳动力比率的百分比变化

若人口增加 $1\%$、劳动力增加 $3\%$、失业人数增加 $2\%$，利用商的百分比变化近似：

$$\begin{array}{rl}\%\Delta LFPR& \approx \%\Delta L-\%\Delta POP\\ & =3\%-1\%=2\%,\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\%\Delta u& \approx \%\Delta U-\%\Delta L\\ & =2\%-3\%=-1\%.\end{array}$$

Warning

这里得到的是相对于原比率的百分比变化，不是 percentage-point change。例如初始 $LFPR=60.0\%$，增加 $2\%$ 后为

$$60.0\%\times 1.02=61.2\%,$$

即增加 $1.2$ 个百分点，而不是 $2$ 个百分点。

7.4 Household and Establishment Surveys / 家庭调查与机构调查

BLS 还通过 establishment survey 调查企业 payrolls，得到另一套就业指标。两套调查偶尔会发生分歧，原因包括：

• self-employed persons 在两套调查中的处理不同；
• 新成立企业可能尚未进入机构调查样本；
• 家庭调查需要从样本推断总体人口，存在相应的统计与技术问题。

家庭调查以“人”为单位并支持就业状态、失业率和参与率的计算；机构调查以“工资岗位”为单位，通常更适合观察 nonfarm payroll employment 的月度变化。