2023 国赛 C 题模拟赛完整复盘（蔬菜定价与补货）

时间：8/16–8/19 ~~我应该没有摸鱼吧~~

赛题与数据

题目：2023 高教社杯 C 题《蔬菜类商品的自动定价与补货决策》。

四问：

分析各蔬菜品类/单品销售量的分布规律及相互关系；
以品类为单位，分析销售总量与成本加成定价的关系，给出未来一周（2023-07-01~07）的日补货总量与定价策略；
单品层面：可售单品 27–33 个、最小陈列量 2.5 kg，根据 6/24–30 可售品种给出 7/1 的单品补货量与定价；
还需要采集哪些数据、对解决上述问题有何帮助。

附件：

附件	内容	规模
附件1	商品信息（6 品类 251 单品）	251×4
附件2	销售流水	878,503 行，2020-07-01 ~ 2023-06-30（T=1095 天）
附件3	批发价格	55,982 行
附件4	损耗率（单品级 + 分类级）	251+6 条

清洗口径：退货按负销量并入当日净销量；单品日表 46,599 行、品类日表 6,474 行；有销售单品 246 个（5 个无销售记录）。

团队与分工

我以为”割裂分工”是比较糟糕的，所以约定：每个问题三人共同参与建模讨论，代码由我主要承担，论文统稿由 ljh 负责，lzy 主建模。实践下来效果不错，但后期统稿压力集中。

协作规范（COLLABORATION.md）：

一人统稿：维护 main.tex、摘要、ref.bib、附录；
一人主建模、一人主代码，每个问题设 lead，其他人交叉 review；
尽量只改自己负责的 .tex 文件，main.tex/ref.bib 由统稿人改；
main 分支只放能编译的稳定版本，大改动开 feature/<名字>-<内容>；
提交信息用动词开头；提交前 git pull --rebase origin main；
提交前本地 xelatex 编译通过。

工作流（这次用的流程）

整体按”分析 → 建模 → 编码 → 绘图 → 写作 → 验收”的流水线推进，产物都落在 workspace/：

2analysis-modeling（建模稿）
  → 3coding-visual（代码 + 图表 + RESULTS_REPORT）
  → 4drawio（非数据图）
  → 5writing（论文章节）
  → 6verity（最终验收）

建模稿里我习惯用 [cjg] 补丁标注修正，保留队友原文、只追加说明；
所有关键数字都留 CSV/JSON 证据，论文只引用 results/ 里的值。

问题一：分布、季节、关联、聚类

思路

拆成四个递进的子模型：

分布模型：品类日销量用 lognormal/gamma 拟合（AIC 选型、BIC 核对）；单品大量零值 → 两阶段混合分布（售出概率 + 条件正销量分布）；
季节模型：STL 分解周内季节（period=7, robust=True），年季节用月度聚合；
协同网络：星期/月份虚拟变量残差化后取 Spearman 秩相关，BH-FDR 校正，前后半样本稳健边建网；
聚类：六维时序特征（售出占比/有售日均/变异系数/周末偏置/节假日脉冲/销量占比）+ z-score + Ward 层次聚类。

关键结果

项	结果
品类分布	gamma 4 个（花叶/花菜/水根/茄），lognorm 2 个（辣椒/食用菌），AIC=BIC 一致
单品分布	132 个进入参数拟合（gamma 81 / lognorm 51），售出概率 0.0557~0.9826
STL	季节强度 0.1729~~0.2616，趋势强度 0.5135~~0.6268
旺季检验	茄类 1.5412、花叶 1.0945、花菜 1.0089 大于 1，其余品类淡季反而更高
协同网络	8,646 对中主边 1,062（正 820 / 负 242），稳健边 154、51 节点
品类相关	花叶-食用菌 0.651、花叶-辣椒 0.636、辣椒-食用菌 0.638
聚类	k=5，silhouette 0.2583，80% 抽样 50 次 ARI 0.4567

插曲：伪篮子的证伪

一开始想用（日期, 扫码时间）构造伪交易 ID 跑 Apriori，结果在附件 2 上实测：同秒多件不同单品交易的占比极低，且无法排除多台收银机并发，属于伪回归。于是放弃关联规则，把颗粒度上卷到日频做协同网络——这个”先证伪再换方法”的过程最后也写进了建模稿。

问题二：弹性 → 加价率 → 预测 → 报童

模型链

$P_{c, t} = \sum_{i} w_{i} p_{i, t} (固定基期 Laspeyres 价格指数)$

$ln Q_{c, t} = α_{c} + β_{c} ln P_{c, t} + δ_{c} t + 星期 + 月份 + ε_{c, t}$

最优加价率：常弹性下 $π (P) = (P - c^{'}) Q (P)$ 求导得 $P^{*} = \frac{E}{E - 1} \cdot \frac{W}{1 - L}$ （ $E = ∣ β_{c} ∣ > 1$ ）。但实测六品类全是弱弹性（ $E < 1$ ），利润在可行域内单调 → 历史加价率区间 $[m_{5%}, m_{95%}]$ 网格搜索的边界解。

预测：先用弹性把历史销量折算到参考价的”去价格序列”，再做含趋势/星期/月份的回归外推（对数均值修正 $\overset{ˉ}{Q} = exp (ln Q + MSE /2)$ ），最后按最优价乘性缩放。

报童： $F (y^{*}) = κ = (P^{*} - c^{'}) / P^{*}$ ，分位数用 lognormal 矩匹配（与问题一分布口径衔接），补货量 $R = y^{*} / (1 - L)$ 。

关键结果

品类	弹性	t 值	最优加价率	最优售价
花叶类	-0.45	-6.79	1.01	7.22
花菜类	-0.50	-5.45	0.71	14.00
水生根茎类	-0.07	-0.70（不显著）	0.44	16.07
茄类	-0.26	-3.16	0.90	7.81
辣椒类	-0.13	-3.03	1.14	6.79
食用菌	-0.31	-5.28	0.82	4.53

未来一周：总补货 2607.89 kg，总期望利润 5305.19 元；
补货呈周末集中结构（7/1+7/2 占全周 36.2%）；
水生根茎类弹性不显著，定价结论降级为”证据不足”；
报童 vs 确定性订货：5305.19 vs 4550.45 元（+754.74），报童更少订（负安全库存， $κ < 0.5$ ）但期望利润更高；
回测：后 28 天 MAPE 20.6%~37.2%；2022-07 同期回测 23.9%~66.4%（跨年稳定性有限）。

纠结：Q-P 模型 vs k-π 推导

这轮里纠结最多的是：需求侧明明建的是 $Q (P)$ 模型，定价策略那边为什么用加价率 $k$ 推导？

理顺后的口径：顾客只能看到货架价 P，加价率 $k = P / W - 1$ 是派生输出，不是需求自变量。4.2 本来就是价格空间求导；4.3 的网格搜索也是”对夹逼后最终价格评估利润”。弱弹性下利润单调、最优恒在边界，所以可行域口径（加价率区间 vs 价格区间）直接决定数字——这也是为什么”中位价口径 +72.8%“这种看似离谱的结果其实是口径问题。

联合定价扩展：直接用 6×6 交叉弹性 + 差分进化，独立与联合同在价格可行域 $[P_{5}, P_{95}]$ 下比较：独立 3265.50 vs 联合 3861.36 元/日（+18.2%）；交叉项 15/30 显著（9 正 6 负），仅显著项 +15.6%、缩半 +5.4%。

问题三：单品级选品、定价与补货 MIP

模型

候选集：6/24–30 有售且周均净销量 ≥ 0.5 kg/天 → 45 个（有售 49 个剪枝后；花叶 16/辣椒 9/食用菌 8/水根 6/茄 4/花菜 2）；
单品弹性：Log-Log 回归 + Shrinkage 收缩 $\hat{β}_{i} = \frac{N _{i}}{N _{i} + M _{0}} β_{raw, i} + \frac{M _{0}}{N _{i} + M _{0}} β_{c (i)}$ （ $M_{0} = 30$ ， $N_{i} < 14$ 或无变异直接借品类弹性；12/45 借用品类弹性）；
价格网格：历史 $[P_{5}, P_{95}]$ 等距 11 档，参考价 $p_{i}^{0}$ 显式并入网格；
0-1 MIP（HiGHS）：同时决策上架/选档/订购，目标 = 收入 − 进货成本 − 缺货惩罚；
约束： $27 \leq \sum y_{i} \leq 33$ 、 $2.5 y_{i} \leq q_{i} \leq M_{i} y_{i}$ 、定价唯一、 $s_{i} \leq q_{i} (1 - L_{i})$ 、缺货量定义、品类覆盖。

关键结果（7/1）

指标	数值
选中单品	33（花叶 11/辣椒 8/食用菌 6/茄 3/水根 3/花菜 2）
总订购量	296.83 kg
总销量 = 总需求	270.14 kg，满足率 1.00
总收入 / 总成本 / 总利润	1915.69 / 1233.61 / 682.08 元
求解状态	HiGHS optimal，gap=0，节点数 1，无降级
陈列刚性超订	1.16 kg（10.53 元，3 个低需求单品被最小陈列卡到 2.5 kg）

收缩后单品弹性区间 $[- 2.52, - 0.03]$ ；小米椒(份) 单品毛利 109.49 元最高。

问题四：数据采集建议

五维方案，正文只留 2 页：

需求侧：会员 ID + 购物篮（Lift 识别互补/替代）+ 缺货登记（修正截断低估）；
市场侧：货架拓扑 + 竞品实时均价 → 交叉价格弹性 $D_{i} (p_{i}, p_{- i}) = d_{i} (p_{i} / p_{i}^{0})^{β_{i}} \prod_{j \neq = i} (p_{j} / p_{j}^{0})^{ϵ_{ij}}$ ，替代效应按货架距离衰减；
运营侧：分时段库存 + 打折流水 → 日内动态定价（贝尔曼方程）叠在日级报童之上；
供给侧：分环节损耗率 + 供应商履约指数 → 时变损耗函数 + 提前期安全库存；
外部环境：天气/节假日/促销日历 → 回归外生变量，去混淆弹性。

优先级：外部环境（极低）> 需求侧 > 运营侧 > 供给侧 > 市场侧（高成本）。

模型检验与灵敏度

七项量化检验，阈值全部运行前声明，契约在 results/q2_robustness_summary.json：

检验项	观测值	状态
批发价 ±10%	利润变化 <1%	PASS
弹性 ±20%	利润变化 <0.5%	PASS
价格口径切换	中位价口径 +72.8%、弹性符号翻转	CONDITIONAL
报童 vs 确定性	+754.74 元	PASS
损耗率替换	补货量 -1.0%	PASS
2022-07 同期回测	MAPE 最高 66.4%（>40%）	CONDITIONAL
品类相关联合模拟	期望利润偏差 +0.11%，方差比 2.47	PASS

问题三灵敏度（14 个情景重解 MIP）：批发价是最敏感输入（利润 -17.6%/+18.1%），选品数 27/30/33 → 657.54/673.60/682.08，网格离散化影响 ±4.5%，rho 和大 M 完全不变。

论文与页面控制

页码历程

初稿全篇（含附录代码）一度超过 100 页 → 通过压缩正文到 约 30 页（参考文献 4 页、附录约 65 页不计页数）。最终正文分布大致：封面+摘要 3、引言假设 1、Q1 7、Q2 10、Q3 4、Q4 3、检验+评价 4。

ljh 复盘里的页面控制经验

写作时给每个 section 定页数区间，并标注图表是否必须；
窄行多的表格改成并列/紧凑形式控制表高；
图表位置用 [H] 固定，避免 htbp 乱跑留大片空白；
每部分定稿后由论文手先做一轮页面控制，不要等到最后；
参考文献 58 条偏多，注意中文文献占比，避免”全是英文 → 像 AI 生成”的观感。

验收发现的坑

ref.bib 出现过重复 key（silver2016），bibtex 直接报错；
引用了不存在的 \ref{sec:sensitivity}，编译出 ”??”；
附录表格出现 ”—” 占位符没填；
硬编码”见第九章/9.1.1”这类章号，删改章节后全错，应该用 \ref；

踩坑与复盘汇总

Git / 协作

问题	解决
push/pull 连接不稳定	改用 SSH 协议
提交后队友不知道	改完在群里说一声
冲突	提交前 `git pull --rebase origin main`；只改自己的文件
前期分工不均	每节定结果后立即排版引用，别把活堆给统稿人

建模 / 代码

伪关联要证伪：扫码时间构造伪篮子不可行，日频上卷才是对的；
价格口径决定一切：固定基期权重防”当期加权 → 机械负相关”；
弱弹性下”最优”是历史区间约束下的最优，论文必须写明边界；
缺货截断会让净销量低估真实需求（Q2/Q3 共享局限）；
7/1 是周六但没做周末偏置，列为局限；

流程上的改进点（下次比赛）

定选题后尽快完善文档并标 deadline；
论文手前期就参与排版，别让最后 48 小时集中爆发；
图表移位/流程图问题提前准备替代方案（比如外部工具出图再插入）；
参考文献从一开始就控制数量和质量。

仓库一览

MCM/
├── README.md / COLLABORATION.md / NOTES.md
├── materials/            # 模板与参考资料（只读）
├── Problem/              # 赛题 + 附件 1-4
└── workspace/
    ├── main.tex          # 论文主文档
    ├── sections/         # 00 摘要 ~ 09 附录
    ├── draft/            # 建模稿 + RESULTS_REPORT
    ├── code/             # clean_data.py, question1/A-D.py,
    │                     # question2/nv.cpp+q2.py+q2_sensitivity.py,
    │                     # question3/q3.py
    ├── results/          # 清洗数据与全部结果 CSV/JSON
    ├── figures/          # 论文图表 PDF
    └── fonts/            # 模板字体（勿动）

编译：xelatex main.tex && bibtex main && xelatex main.tex && xelatex main.tex。

description	2023 国赛 C 题（蔬菜类商品的自动定价与补货决策）模拟赛完整复盘：选题、分工、四问建模、代码、检验、论文与协作踩坑。
tags	课程笔记, 2026-summer, 数学建模, 国赛模拟

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模型链

关键结果

纠结：Q-P 模型 vs k-π 推导

问题三：单品级选品、定价与补货 MIP

模型

关键结果（7/1）

问题四：数据采集建议

模型检验与灵敏度

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