2026-09-21-Note

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前置内容：价格指数、通货膨胀与劳动力市场
后续内容：国民收入、总需求与可贷资金市场
课程资料：CHAP03, pp.1–25

The Production Function and the Distribution of National Income / 生产函数与国民收入分配

1. The Model / 模型

第三章建立一个用于解释长期国民收入的市场出清模型。供给侧首先回答两个问题：

1. 给定资本与劳动，经济能够生产多少产出？
2. 产出如何在资本所有者与劳动者之间分配？

基本变量如下：

符号	English term	中文含义
$Y$	output	总产出、总收入
$K$	capital	资本存量，包括机器、厂房等生产资料
$L$	labor	劳动投入
$z$ 或 $A$	total factor productivity	全要素生产率、技术水平
$P$	output price	产品价格
$W$	nominal wage	名义工资
$R$	nominal rental rate of capital	资本的名义租赁价格

2. The Production Function / 生产函数

Definition

The production function identifies the amount of output $Y$ that the economy can produce with $K$ units of capital and $L$ units of labor:

$$Y=F(K,L).$$

生产函数描述技术约束：在给定资本与劳动投入时，经济最多能够生产多少产出。它不是需求关系，也不是会计恒等式。

2.1 Hicks-Neutral Productivity / 希克斯中性生产率

课堂使用

$$Y=zF(K,L).$$

这里 $z$ 是 total factor productivity, TFP。当 $K$、$L$ 不变而 $z$ 上升时，全部投入的生产效率一起提高，产出增加：

$$z\uparrow ,K,L\text{ fixed}⟹Y\uparrow .$$

这种写法把技术进步放在整个生产函数之前，因此又称 Hicks-neutral technology。

2.2 Factor-Augmenting Productivity / 要素增强型生产率

另一种写法是

$$Y=F(zK,L).$$

此时 $z$ 是 capital-augmenting productivity：技术进步等价于提高每单位物质资本所提供的有效资本服务。类似地，$F(K,zL)$ 表示 labor-augmenting productivity。

Productivity notation

$zF(K,L)$ 同时提高所有要素的生产效率；$F(zK,L)$ 只增强资本。即使符号相同，也不能把两者直接混用。

3. Returns to Scale / 规模报酬

Definition

Returns to scale describe how output changes when all inputs are multiplied by the same positive factor $a$.

规模报酬研究的是资本与劳动同时按相同比例变化时，产出如何变化。对 $a>0$：

$$\begin{array}{rlrl}F(aK,aL)& =aF(K,L)& & \text{constant returns to scale},\\ F(aK,aL)& >aF(K,L)& & \text{increasing returns to scale},\\ F(aK,aL)& <aF(K,L)& & \text{decreasing returns to scale}.\end{array}$$

• Constant returns to scale, CRS：投入扩大 $a$ 倍，产出恰好扩大 $a$ 倍；
• Increasing returns to scale, IRS：产出扩大超过 $a$ 倍；
• Decreasing returns to scale, DRS：产出扩大不足 $a$ 倍。

规模报酬讨论“所有投入一起变化”，不要与“只增加一种投入时的边际报酬”混淆。

3.1 Cobb–Douglas Production Function / 柯布–道格拉斯生产函数

$$Y=z{K}^{\alpha }{L}^{1-\alpha },0<\alpha <1.$$

验证其规模报酬：

$$\begin{array}{rl}z(aK{)}^{\alpha }(aL{)}^{1-\alpha }& =z{a}^{\alpha }{a}^{1-\alpha }{K}^{\alpha }{L}^{1-\alpha }\\ & =az{K}^{\alpha }{L}^{1-\alpha }\\ & =aY.\end{array}$$

因此 Cobb–Douglas 具有常数规模报酬。

3.2 CES Production Function / CES 生产函数

课堂补充的 constant elasticity of substitution, CES 生产函数可写为

$$Y=z{\left[\alpha K^{\rho }+(1-\alpha )L^{\rho }\right]}^{1/\rho }.$$

对全部投入同时乘以 $a>0$，

$$\begin{array}{rl}F(aK,aL)& =z{\left[\alpha (aK{)}^{\rho }+(1-\alpha )(aL{)}^{\rho }\right]}^{1/\rho }\\ & =z{\left[a^{\rho }\left(\alpha K^{\rho }+(1-\alpha )L^{\rho }\right)\right]}^{1/\rho }\\ & =aF(K,L).\end{array}$$

所以这一标准参数化同样具有 CRS。CES 强调资本与劳动之间替代弹性为常数；Cobb–Douglas 是其极限特例之一。

4. The Supply of Goods and Services / 商品与服务的供给

本章短期内先作如下供给侧假设：

$$K=\bar{K},L=\bar{L},$$

并把技术水平视为给定。于是总产出由生产函数决定：

$$Y=F(\bar{K},\bar{L})=\bar{Y}.$$

横线表示该变量在当前模型中是外生给定的。产出既是产品总供给，也是生产过程中形成的总收入。

5. Factor Prices / 要素价格

Definition

Factor prices are the prices per unit that firms pay for the factors of production.

要素价格是企业使用一单位生产要素所支付的价格：劳动的价格是工资，资本服务的价格是租赁率。要区分名义价格与实际价格：

$$\begin{array}{rl}\text{real wage}& =\frac{W}{P},\\ \text{real rental rate of capital}& =\frac{R}{P}.\end{array}$$

$W/P$ 衡量一单位劳动报酬能够购买多少单位产出，$R/P$ 衡量一单位资本服务报酬能够购买多少单位产出。

6. Profit Maximization / 利润最大化

假设产品市场和要素市场均为竞争市场。单个企业把 $P$、$W$、$R$ 视为给定，并选择 $K$、$L$ 最大化利润：

$$\begin{array}{rl}\underset{K,L}{\max }\Pi & =PY-WL-RK\\ & =PzF(K,L)-WL-RK.\end{array}$$

其中 $PY$ 是 revenue，$WL+RK$ 是 factor cost。内部最优解的一阶条件为

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \Pi }{\partial L}& =Pz{F}_L(K,L)-W=0,\\ \frac{\partial \Pi }{\partial K}& =Pz{F}_K(K,L)-R=0.\end{array}$$

整理得到

$$\begin{array}{rl}z{F}_L(K,L)& =\frac{W}{P},\\ z{F}_K(K,L)& =\frac{R}{P}.\end{array}$$

左侧分别是劳动和资本的边际产品。因此，竞争性企业使用一种要素，直到该要素的边际产品等于其实际要素价格。

7. Marginal Products and Factor Demand / 边际产品与要素需求

7.1 Marginal Product of Labor / 劳动边际产品

Definition

The marginal product of labor, MPL, is the extra output the firm can produce using an additional unit of labor, holding other inputs fixed:

$$MPL=F(K,L+1)-F(K,L).$$

MPL 是资本等其他投入不变时，增加一单位劳动带来的额外产出。若把劳动视为连续变量，则

$$MPL=\frac{\partial Y}{\partial L}.$$

生产函数关于 $L$ 的曲线斜率就是 MPL。

7.2 Marginal Product of Capital / 资本边际产品

Definition

The marginal product of capital, MPK, is the extra output produced by one additional unit of capital, holding labor fixed.

MPK 是劳动不变时，增加一单位资本带来的额外产出。连续情形下

$$MPK=\frac{\partial Y}{\partial K}.$$

7.3 Diminishing Marginal Returns / 边际报酬递减

Definition

Diminishing marginal returns means that as one input is increased, holding other inputs constant, its marginal product falls.

当其他投入固定时，连续增加某一种投入，每新增一单位投入所带来的产出增量逐渐下降。数学上通常写作

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial MPL}{\partial L}& =\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial L^2}<0,\\ \frac{\partial MPK}{\partial K}& =\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial K^2}<0.\end{array}$$

固定资本时，劳动不断增加会使每位工人可使用的机器减少，因此 MPL 下降。图形上，$Y=F(\bar{K},L)$ 关于 $L$ 单调上升但为凹函数，而不是直线。

7.4 Complementarity of Inputs / 投入要素互补性

板书还强调，在常见生产函数中，一种要素增加会提高另一种要素的边际产品：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial MPL}{\partial K}& =\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial K\partial L}>0,\\ \frac{\partial MPK}{\partial L}& =\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial L\partial K}>0.\end{array}$$

例如给工人配备更多机器通常会提高劳动边际产品。这是要素在生产上的互补性，并不否认企业可以在一定程度上替代资本与劳动。

8. Equilibrium Factor Prices / 均衡要素价格

企业雇佣劳动的原则是比较额外成本与额外收益：

$$\text{cost}=\frac{W}{P},\text{benefit}=MPL.$$

• 若 $MPL>W/P$，新增劳动带来的产出价值高于成本，企业会继续雇佣；
• 若 $MPL<W/P$，新增劳动不划算，企业会减少劳动需求；
• 最优劳动投入满足 $MPL=W/P$。

当总劳动供给固定为 $\bar{L}$ 时，实际工资调整到

$$\frac{W}{P}=MPL(\bar{K},\bar{L}),$$

使劳动需求等于劳动供给。同理，资本市场均衡要求

$$\frac{R}{P}=MPK(\bar{K},\bar{L}).$$

因此，MPL 曲线是企业的劳动需求曲线，MPK 曲线是企业的资本需求曲线。

9. The Neoclassical Theory of Distribution / 新古典分配理论

Definition

The neoclassical theory of distribution states that each factor of production is paid its marginal product.

在完全竞争和利润最大化条件下，劳动获得其边际产品对应的实际工资，资本获得其边际产品对应的实际租赁率。

劳动总收入与资本总收入分别为

$$\begin{array}{rl}\text{labor income}& =MPL\cdot L,\\ \text{capital income}& =MPK\cdot K.\end{array}$$

若生产函数具有 CRS，Euler 定理给出

$$Y=MPL\cdot L+MPK\cdot K.$$

这说明在竞争均衡中，总产出恰好被劳动收入与资本收入完全分配；若不存在其他固定成本，经济利润为零。

10. The Cobb–Douglas Production Function / 柯布–道格拉斯生产函数

令

$$Y=z{K}^{\alpha }{L}^{1-\alpha },0<\alpha <1.$$

边际产品为

$$\begin{array}{rl}MPK& =\frac{\partial Y}{\partial K}=\alpha z{K}^{\alpha -1}{L}^{1-\alpha }=\alpha \frac{Y}{K},\\ MPL& =\frac{\partial Y}{\partial L}=(1-\alpha )z{K}^{\alpha }{L}^{-\alpha }=(1-\alpha )\frac{Y}{L}.\end{array}$$

于是

$$\begin{array}{rl}MPK\cdot K& =\alpha Y,\\ MPL\cdot L& =(1-\alpha )Y.\end{array}$$

因此 $\alpha$ 是资本收入份额，$1-\alpha$ 是劳动收入份额。Cobb–Douglas 的重要经验含义是：即使 $K$、$L$ 与 $Y$ 随时间变化，参数固定时两种要素的收入份额仍保持不变。

同时，

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial MPL}{\partial L}& =-\alpha (1-\alpha )z{K}^{\alpha }{L}^{-\alpha -1}<0,\\ \frac{\partial MPL}{\partial K}& =\alpha (1-\alpha )z{K}^{\alpha -1}{L}^{-\alpha }>0.\end{array}$$

这同时验证了劳动边际报酬递减，以及资本增加会提高劳动边际产品。