2026-08-03-Exercise

两讲讲义里的全部题目（课堂例题 + 课后作业），每题下面留了 Python 空位。
讲义用 MATLAB，我就要用 Python。 虽然伟大的厦门大学授予了我高贵的正版 MATLAB，但是 Python 太舒服了。

第一讲 初等数据处理方法

Ref: 初等数据处理方法.pdf

观察法

E1. 开普勒第三定律（讲义例） 已知行星公转周期 $T$（天）与平均距离 $R$（百万英里）：

行星	$T$	$R$	行星	$T$	$R$
水星	88	36	木星	4331.8	483.80
金星	224.7	67.25	土星	10760.0	887.97
地球	365.3	93	天王星	30684.0	1764.50
火星	687.0	141.75	海王星	60188.3	2791.05
			冥王星	90466.8	3653.90

验证 $T=c{R}^{3/2}$：对 $R^{3/2}$ 作图，拟合过原点直线求斜率 $c$。

E2. 方椅子问题（讲义例） 四条腿等长的方椅子放在连续曲面上，证明转动一定角度后四条腿能同时着地（提示：$f(\theta )g(\theta )=0$ + 零点定理）。不需要数值计算，可画图示意。

拟合

E3. 指数拟合（讲义例） 测得 $z$ 与 $x$ 的数据：$x=1,2,3,4$，$z=8.1,22.1,60.1,165$。设 $z=\beta e^{\alpha x}$，取对数化线性，用最小二乘确定 $\alpha ,\beta$。

E4. Chebyshev 准则（讲义例） 线段 $AB=13,BC=7,AC=19$，求 $x_1,x_2$ 使三个残差的最大绝对值最小（化为线性规划 $\min r$ s.t. $-r\le r_i\le r$）。

E5. 醉汉行进路线（讲义例） 已知原型 $y=c_1+c_2\sin x+c_3{\cos }^{2}x+c_4{x}^3$，取 $x=1:0.1:5$，$c=[2.5,-0.5,1.3,-0.1]$，加噪声生成数据后做最小二乘拟合，画出拟合图并对比真实系数。

插值

E6. $\sqrt{115}$（讲义例） 用线性插值（节点 100, 121）和抛物线插值（节点 100, 121, 144）求 $\sqrt{115}$，并比较真值 $10.723805$。

E7. $\mathrm{sh}0.596$ 的 Newton 插值（讲义例） 已知 $f(x)=\mathrm{sh}x$ 的数据：

$k$	0	1	2	3	4	5
$x_k$	0.40	0.55	0.65	0.80	0.90	1.05
$f(x_k)$	0.41075	0.57815	0.69675	0.88811	1.02652	1.25386

构造 4 次 Newton 插值多项式（差商表）计算 $f(0.596)$。

E8. Newton 均差（作业） 给定 $f(x)=3x^3+1$，计算二阶均差 $f[0,1,2]$ 与四阶均差 $f[0,1,2,3,4]$。

E9. Hermite 插值（讲义例） 设 $f(x)=\sqrt{x}$，节点 $x_0=1/4,x_1=9/4$，求 $f(x)$ 在 $[1/4,9/4]$ 上的 3 次 Hermite 插值多项式 $H(x)$（节点处函数值 + 一阶导数同值）。

E10. 分段线性插值（讲义例） 对 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，$x\in [-5,5]$，取等距节点 $x_k=-5+k$（$k=0,\dots ,10$），构造分段线性插值函数并画图对比原函数。

E11. 三次样条插值（讲义例） 已知 $y=f(x)$ 在 $x=-1,0,1$ 处取值 $-1,0,1$，端点导数 $f^{\prime }(-1)=0,f^{\prime }(1)=-1$，求 $[-1,1]$ 上步长 0.25 的各点函数值（MATLAB 版：csape(...,'complete',[0,-1])）。

综合案例

E12. 机床加工（讲义例） 机翼断面下轮廓数据：

$x$	0	3	5	7	9	11	12	13	14	15
$y$	0	1.2	1.7	2.0	2.1	2.0	1.8	1.2	1.0	1.6

用三次样条插值得到 $x$ 每改变 0.1 时的 $y$，并画出曲线。

E13. 海底地貌探测（讲义例） 已知散点 $(x,y)$ 处水深 $z$：

$x$	129	140	103.5	88	185.5	195	105	157.5	107.5	77	81	162	162	117.5
$y$	7.5	141.5	23	147	22.5	137.5	85.5	-6.5	-81	3	56.5	-66.5	84	-33.5
$z$	4	8	6	8	6	8	8	9	9	8	8	9	4	9

船吃水 5 英尺（$z<5$ 禁行）。做二维插值画出海域地貌图与等高线图，标出 $(75,200)\times (-50,150)$ 内应避开的区域。

课后作业（讲义 P76-77）

H1. 最小二乘拟合（作业） 用最小二乘法求形如 $y=a{e}^{bx}$ 的经验公式：

$x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8
$y_i$	15.3	20.5	27.4	36.6	49.1	65.6	87.8	117.6

H2. Lagrange 线性插值（作业） 已知 $f(x)=\sqrt{x}$，$x_0=4,x_1=9$，用 Lagrange 线性插值求 $\sqrt{7}$。

H3. Hermite 插值（作业） 求满足 $H(0)=0,H(1)=2,H^{\prime }(1)=0$ 的 3 次 Hermite 插值多项式 $H_3(x)$。

H4. 分段线性插值（作业） 已知 $f(0)=1,f(1)=0.5,f(2)=0.2$，求分段线性插值函数并计算 $f(1.5)$ 的近似值。

H5. 三次样条插值（作业） 已知函数表，求三次样条插值函数：

$x_i$	0	1	2
$f(x_i)$	4.0	5.0	7.0
$f^{\prime }(x_i)$	0.13		-0.13

第二讲 回归相关数据处理

Ref: 回归相关数据处理.pdf

参数估计与假设检验

S1. 包装机 z 检验（讲义例） 袋装糖重 $X\sim N(\mu ,0.015^2)$，抽取 9 袋：0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.512。检验 $H_0:\mu =0.5$（$\alpha =0.05$）。

S2. 元件寿命 t 检验（讲义例） 16 个元件寿命：159, 280, 101, 212, 224, 379, 179, 264, 222, 362, 168, 250, 149, 260, 485, 170。检验平均寿命是否大于 225 小时（$\alpha =0.05$）。

S3. 两种种子均值检验（讲义例） 10 块地配对种植，单位产量：

土地	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
种子一	23	35	29	42	39	29	37	34	35	28
种子二	30	39	35	40	38	34	36	33	41	31

检验两种种子单位产量均值有无显著差异（$\alpha =0.05$）。

S4. 混凝土抗压强度卡方检验（讲义例） 200 件混凝土制件抗压强度频数：

区间 $(a_{i-1},a_i]$	(190,200]	(200,210]	(210,220]	(220,230]	(230,240]	(240,250]
频数 $n_i$	10	26	56	64	30	14

在 $\alpha =0.05$ 下检验抗压强度是否服从正态分布（未知参数用 MLE/组中值估计，自由度 $r-k-1$）。

回归分析

S5. 合金强度一元回归（讲义例） 合金强度 $Y$ 与碳含量 $X$：

序号	$X$	$Y$	序号	$X$	$Y$
1	0.10	42.0	7	0.16	49.0
2	0.11	43.5	8	0.17	53.0
3	0.12	45.0	9	0.18	50.0
4	0.13	45.5	10	0.20	55.0
5	0.14	45.0	11	0.21	55.0
6	0.15	47.5	12	0.23	60.0

做一元线性回归并给出显著性检验（F / t / 相关系数）。

参考实现：2026-08-03-S5-Notebook-Demo（演示「代码 + 输出」如何发布到博客）

S6. 积雪深度与灌溉面积（讲义例） 连续 10 年数据：

序号	$X$/m	$Y$/hm²	序号	$X$/m	$Y$/hm²
1	5.1	1907	6	7.8	3000
2	3.5	1287	7	4.5	1947
3	7.1	2700	8	5.6	2273
4	6.2	2373	9	8.0	3113
5	8.8	3260	10	6.4	2493

(1) 画散点图判断线性关系；(2) 求回归方程；(3) 显著性检验；(4) $X=7$ 时预测值与 95% 区间估计。

S7. 血压多元回归（讲义例） 收缩压 $Y$ 与体重 $X_1$、年龄 $X_2$（13 名男子）：

序号	$X_1$	$X_2$	$Y$	序号	$X_1$	$X_2$	$Y$
1	76.0	50	120	8	79.0	50	125
2	91.5	20	141	9	85.0	40	132
3	85.5	20	124	10	76.5	55	123
4	82.5	30	126	11	82.0	40	132
5	79.0	30	117	12	95.0	40	155
6	80.5	50	125	13	92.5	20	147
7	74.5	60	123

建立 $Y$ 关于 $X_1,X_2$ 的回归方程并做显著性检验（$R^2$、F、t）。

S8. 土壤磷多元回归（讲义例） $Y$（可给态磷）与三种磷浓度 $X_1,X_2,X_3$（18 组数据）：

| 序号 | $X_1$ | $X_2$ | $X_3$ | $Y$ | 序号 | $X_1$ | $X_2$ | $X_3$ | $Y$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 1 | 0.4 | 52 | 158 | 64 | 10 | 12.6 | 58 | 112 | 51 | | 2 | 0.4 | 23 | 163 | 60 | 11 | 10.9 | 37 | 111 | 76 | | 3 | 3.1 | 19 | 37 | 71 | 12 | 23.1 | 46 | 114 | 96 | | 4 | 0.6 | 34 | 157 | 61 | 13 | 23.1 | 50 | 134 | 77 | | 5 | 4.7 | 24 | 59 | 54 | 14 | 21.6 | 44 | 73 | 93 | | 6 | 1.7 | 65 | 123 | 77 | 15 | 23.1 | 56 | 168 | 95 | | 7 | 9.4 | 44 | 46 | 81 | 16 | 1.9 | 36 | 143 | 54 | | 8 | 10.1 | 31 | 117 | 93 | 17 | 26.8 | 58 | 202 | 168 | | 9 | 11.6 | 29 | 173 | 93 | 18 | 29.9 | 51 | 124 | 99 |

求 $\hat{\beta }=(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }Y$ 并做整体 F 检验与各系数 t 检验。

方差分析

S9. 五名工人生产率（讲义例） 每人记录 4 天产量：

	$A_1$	$A_2$	$A_3$	$A_4$	$A_5$
第 1 天	256	254	250	248	236
第 2 天	242	330	277	280	252
第 3 天	280	290	230	305	220
第 4 天	298	295	302	289	252

推断五名工人生产率有无显著差异（$\alpha =0.05$）。

课后作业（讲义 P96-99）

W1. 指数分布极大似然估计（作业） 元件无故障工作时间 $X\sim Exp(\lambda )$，1000 个元件分组频数（组中值）：

组中值	5	15	25	35	45	55	65
频数	365	245	150	100	70	45	25

用极大似然估计求 $\lambda$ 的点估计。

W2. 两种水稻期望差置信区间（作业） 甲乙两种水稻各在 10 块试验田种一半，产量：

甲种	140	137	136	140	145	148	140	135	144	141
乙种	135	118	115	140	128	131	130	115	131	125

假设 $X,Y$ 服从正态分布且方差相等，求 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的置信区间（$\alpha =0.05$）。

W3. 售货机数量与咖啡销量（作业） 14 家餐馆数据：

序号	售货机数量	咖啡销量	序号	售货机数量	咖啡销量
1	0	508.1	8	3	697.5
2	0	498.4	9	4	755.3
3	1	568.2	10	4	758.9
4	1	577.3	11	5	787.6
5	2	651.7	12	5	792.1
6	2	657.0	13	6	841.4
7	3	713.4	14	6	831.8

(1) 作线性回归模型；(2) 画散点图与拟合曲线。

W4. 水泥放热变量选择（作业） 水泥凝固放热 $Y$ 与四种化学成分 $X_1,X_2,X_3,X_4$（13 组数据）：

序号	$X_1$	$X_2$	$X_3$	$X_4$	$Y$	序号	$X_1$	$X_2$	$X_3$	$X_4$	$Y$
1	7	26	6	60	78.5	8	1	31	22	44	72.5
2	1	29	15	52	74.3	9	2	54	18	22	93.1
3	11	56	8	20	104.3	10	21	47	4	26	115.9
4	11	31	8	47	87.6	11	1	40	23	34	83.8
5	7	52	6	33	95.9	12	11	66	9	12	113.3
6	11	55	9	22	109.2	13	10	68	8	12	109.4
7	3	71	17	6	102.7

选出主要变量建立 $Y$ 关于它们的线性回归方程（变量选择）。

W5. 油漆工人血小板（作业） 正常男子血小板计数均值 $225\times 10^9/L$，20 名油漆工人实测值（$\times 10^9/L$）：

220 188 162 230 145 160 238 188 247 113
126 245 164 231 256 183 190 158 224 175

问油漆工人血小板计数与成年男子有无显著差异？

参考答案速查（讲义给出）

题目	答案
E3 指数拟合	$a=1,b=1.1$ ⟹ $z\approx 3e^x$
E6 $\sqrt{115}$	线性 $10.7143$；抛物线 $10.7$（真值 $10.723805$）
E7 $\mathrm{sh}0.596$	$N_4(0.596)\approx 0.6319$
E9 Hermite（讲义例）	$H(x)=\frac{x^3}{16}-\frac{39x^2}{64}+\frac{117x}{256}-\frac{27}{1024}$
E8 均差（自算）	$f[0,1,2]=9$，$f[0,1,2,3,4]=0$
H2 $\sqrt{7}$（自算）	$L_1(7)\approx 2.6$（真值 $2.64575$）
H4 分段线性（自算）	$f(1.5)=0.35$
S1 包装机	$h=1,p=0.0248$，$CI=[0.5014,0.5210]$ → 拒绝
S2 元件寿命	$h=0,p=0.2570$，$CI=[198.23,\infty )$ → 不拒绝
S3 两种种子	$t=-1.1937$，$p=0.2467$ → 无显著差异
S4 混凝土	$\hat{\mu }=221,{\hat{\sigma }}^2=152$，${\chi }^2=1.332<7.815$ → 接受正态
S5 合金强度	$\hat{y}=28.4928+130.8348x$，$r=0.9481,F=182.55,p\approx 0$
S6 积雪灌溉	$\hat{y}=1930.29+356.35X$；$X=7$ → $4422.74$；95% CI $\approx [4100,4700]$
S7 血压	$\hat{y}=-62.9634+2.1366X_1+0.4002X_2$，$R^2=0.9461,F=87.84$
S8 土壤磷	$\hat{\beta }=(54.21,0.92,0.35,0.11)$
S9 五名工人	$F=2.26,p=0.1109>0.05$ → 无显著差异