2026-08-02-Note

存储论

Ref: 8_1_概率与随机系统建模_存储论与排队论.pdf

三个关键成本

成本类型	说明	示例
订购成本 (ordering cost)	每次下单的固定费用	快递费、人工费
持有成本 (holding cost)	保管库存的费用	仓库租金、保险费
缺货成本 (shortage cost)	库存不足的损失	客户流失、紧急采购

库存变化的基本模式

典型模式：进货 → 消耗 → 再进货，平均库存 $=\text{最大库存}/2$。

例：手机店每月卖出 200 台，每次进货 400 台 → 平均库存 $=400/2=200$ 台，每月周转次数 $=200/400=0.5$ 次。

EOQ 模型

经济订货批量 (Economic Order Quantity, EOQ)，假设需求稳定、提前期固定、单位成本不变：

$$Q^{\ast }=\sqrt{\frac{2D{C}_o}{C_h}}$$

其中 $D$ 为年需求，$C_o$ 为每次订货的固定成本（订购成本），$C_h$ 为单位年持有成本。

例：年需求 1200 件，每次订货费 30 元，每件年存储费 4 元：

$$Q^{\ast }=\sqrt{\frac{2\times 1200\times 30}{4}}\approx 134\text{ 件}$$

练习（服装店）：年销 2400 条、每次订单处理费 100 元、单条年仓储 6 元 → $Q^{\ast }\approx 283$ 条，年订货约 8.5 次，总成本 $\approx 1697$。

注意事项：

• 适用场景：需求稳定可预测、订货提前期固定、单位成本不变
• 常见错误：忽略季节波动、低估实际存储成本、忽视最小起订量（例：冰淇淋店冬季直接套用夏季 EOQ 会库存积压）

数量折扣

分段定价时（如 1-99 件 50 美元、100-499 件 45 美元、500+ 件 40 美元）：

1. 对各价格区间分别计算 EOQ
2. 检查 EOQ 是否落在对应区间内
3. 计算所有有效点的总成本
4. 选择成本最低的方案

允许缺货

缺货会产生信誉损失，但可以降低持有成本，此时 EOQ 修正为：

$$Q^{\ast }=\sqrt{\frac{2D{C}_o}{C_h}}\cdot \sqrt{\frac{C_h+C_s}{C_s}}$$

其中 $C_s$ 为单位缺货成本。讲义例：原 EOQ 200 单位、$C_s=10$ 元/单位 → 新 EOQ $\approx 251$ 单位，允许最大缺货量 72 单位。

报童问题（需求不确定）

最优服务水平（critical fractile）：

$$F^{\ast }=\frac{p-c}{(p-c)+(c-s)}$$

日报例：进价 1 元、售价 3 元、回收价 0.5 元：

$$F^{\ast }=\frac{3-1}{(3-1)+(1-0.5)}=80\%$$

历史销量：100 份（20%）、150 份（50%）、200 份（30%），累计概率分别为 20%、70%、100%，最接近 80% 的是 70% → 选 150 份。

标准做法小注

讲义取”累计概率最接近服务水平”；若按标准报童准则（取最小的使累计概率 $\ge F^{\ast }$ 的订货量），则应选 200 份。

安全库存

安全库存 $=\text{安全系数}\times \text{需求波动}$。日需求均值 100、标准差 20，95% 服务水平对应系数 1.65：

$$\text{安全库存}=1.65\times 20\approx 33\text{ 单位}$$

JIT 与 ABC 分类

JIT（Just-In-Time，准时制）：按需生产、小批量高频次、供应商协同；适用于稳定高质量供应链、精准需求预测、快速响应能力。

ABC 分类法：A 类（约 20% 物品、70% 价值）严格管控、小批量多频次；C 类（约 50% 物品、5% 价值）简化管理、大批量少频次。例：电子厂芯片 (A) vs 螺丝钉 (C)。

超市案例

给定：年销矿泉水 36000 箱，订货费 200 美元，存储费 1.5 美元/箱/年，缺货成本 0.8 美元/箱，最小起订 500 箱。

顺手算一下：

$$Q_{EOQ}^{\ast }=\sqrt{\frac{2\times 36000\times 200}{1.5}}\approx 3098\text{ 箱}\ge 500$$

最小订单限制不生效；允许缺货时：

$$Q^{\ast }=\sqrt{\frac{2\times 36000\times 200}{1.5}\times \frac{1.5+0.8}{0.8}}\approx 5254\text{ 箱}$$

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排队论

Ref: 8_1_概率与随机系统建模_存储论与排队论.pdf

系统组成要素

三大核心组件：

• 输入过程：顾客到达规律（泊松过程/一般分布）、顾客源规模（有限/无限）
• 排队规则：等待方式（FIFO/LIFO/优先级）、队列结构（单列/多列）
• 服务机制：服务台数量（单/多服务台）、服务时间分布

graph LR
    A[顾客源] --> B[队列]
    B --> C[服务台]
    C --> D[离开]

Kendall 表示法

标准形式 A/B/C/D/E/F：到达时间间隔分布 / 服务时间分布 / 服务台数 / 系统容量 / 顾客源规模 / 排队规则。

符号	含义
M	马尔可夫过程（指数分布）
D	确定型（固定值）
$E_k$	$k$ 阶 Erlang 分布
G	一般独立分布

常见模型：M/M/1（泊松到达、指数服务、单服务台）、M/G/3、D/M/2/K（确定到达、指数服务、2 服务台、容量 K）。

M/M/1 模型

假设：泊松到达（到达率 $\lambda$）、指数服务（服务率 $\mu$）、单服务台、无限容量与顾客源、FIFO。

指标	公式
系统利用率	$\rho =\lambda /\mu$（要求 $\rho <1$）
平均系统人数	$L=\frac{\rho }{1-\rho }$
平均队列长度	$L_q=\frac{{\rho }^2}{1-\rho }$
平均逗留时间	$W=\frac{1}{\mu -\lambda }$
平均等待时间	$W_q=\frac{L_q}{\lambda }=\frac{\rho }{\mu -\lambda }$

例（银行柜台）：平均每 5 分钟到 1 位顾客（$\lambda =12$ 人/小时），平均服务 4 分钟（$\mu =15$ 人/小时）：

$$\rho =\frac{12}{15}=0.8,L=\frac{0.8}{0.2}=4\text{ 人},L_q=\frac{0.64}{0.2}=3.2\text{ 人}$$ $$W=\frac{1}{15-12}=\frac{1}{3}\text{ 小时}=20\text{ 分钟},W_q=\frac{3.2}{12}\approx 16\text{ 分钟}$$

管理启示

当 $\rho$ 接近 1 时，队列长度和等待时间急剧增加（分母 $1-\rho \to 0$），所以服务系统一般要留出余量。

M/M/c 模型（多服务台）

$c$ 个相同服务台共享队列，系统利用率 $\rho =\lambda /(c\mu )$，稳态条件 $\rho <1$。顾客需要等待的概率由 Erlang C 公式给出¹：

$$P_{wait}=\frac{(c\rho {)}^c}{c!(1-\rho )}{\left[\sum _{k=0}^{c-1}\frac{(c\rho {)}^k}{k!}+\frac{(c\rho {)}^c}{c!(1-\rho )}\right]}^{-1}$$

G/G/1 与 Kingman 近似

一般到达/服务分布，用 Kingman 公式近似平均等待时间²：

$$W_q\approx \frac{c_a^2+c_s^2}{2}\cdot \frac{\rho }{1-\rho }\cdot \frac{1}{\mu }$$

其中 $c_a,c_s$ 为到达/服务时间的变异系数。例：$c_a=1.2,c_s=0.8,\rho =0.7,\mu =10$ 件/小时 → 讲义算得 $W_q\approx 0.31$ 小时。

排队网络

• 开环网络：外部到达，最终离开
• 闭环网络：固定数量顾客循环（如共享单车）
• 混合网络：两者结合

Jackson 网络解法：计算各节点有效到达率 → 分解为独立子系统 → 应用 Little 公式 $L=\lambda W$。

建模五步法

1. 问题识别：确定系统的排队特征
2. 模型选择：根据 Kendall 表示法确定模型类型
3. 参数估计：收集数据估计 $\lambda ,\mu$ 等参数
4. 性能分析：计算关键指标（$L,W,\rho$ 等）
5. 优化建议：基于分析提出改进方案

竞赛论文常见错误

• 忽略系统容量限制
• 未验证稳态条件 $\rho <1$
• 混淆平均等待时间 $W_q$ 与平均逗留时间 $W$

案例三则

1. 医院急诊科（M/M/c+K）：$\lambda =12$ 人/h，$\mu =2$ 人/h（平均处理 30 分钟），$c=5$ 个诊室，容量 $K=15+5=20$。流失概率：

$$P_{loss}=\frac{(c\rho {)}^K/c!}{{\sum }_{k=0}^K(c\rho {)}^k/k!}$$

结果（讲义数据）：实际接受率 ${\lambda }_{eff}\approx 11.2$ 人/h，$W_q\approx 38$ 分钟（达标），医生利用率 $\rho \approx 0.89$；当 $\lambda >14$ 时需增加临时诊室。

2. 快递分拣中心（Jackson 网络）：到达区 M/M/1（$\lambda =1200$ 件/h）→ 初筛 M/M/3（$\mu =600$ 件/h）→ 按 0.6/0.4 分流到两个 M/M/2 细分站。最优配置：初筛 4 台 + 细分 3+1，总处理时间 8.2 分钟。

3. 共享单车（闭环系统）：固定数量单车在站点间流动，结合马尔可夫决策过程与调度车路径优化。

4. 2019 国赛 B 题「同心协力」：M/M/c 状态相关服务率 + 团队协作效率衰减函数，最优团队规模 $c=5$。

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对策论

Ref: 8_1_概率与随机系统建模_对策论与决策论.pdf

后续部分很 trival。只是为了补齐笔记写的。

博弈的形式化模型

$$\Gamma =⟨N,\{S_i\},\{u_i\}⟩$$

五步建模：

1. 参与者：$N=\{1,2,\dots ,n\}$
2. 策略集：$S_i$（纯策略/混合策略）
3. 收益函数：$u_i:S\to \mathbb{R}$
4. 信息结构：完全信息/不完全信息
5. 时序：静态/动态博弈

三大基本模型

模型	特征	例子
同时决策（静态）	同时行动	考试作弊、价格战
先后决策（动态）	先手有优势	市场进入
合作博弈	需要信任机制	共享资源

囚徒困境

两名嫌疑犯分开审讯，选择”合作（沉默）“或”背叛（指证）“（数字为刑期年数，越小越好）：

A \ B	沉默	背叛
沉默	(1, 1)	(10, 0)
背叛	(0, 10)	(5, 5)

纳什均衡是 (背叛, 背叛)：个人最优 $\ne$ 集体最优，理性导致双输。现实应用：价格战、过度捕捞、碳排放。

工具

场景	工具
纯策略	Nashpy (Python)
演化博弈	NetLogo
合作博弈	GameTheory (R)
动态博弈	Gambit

课堂习题

价格战：两家奶茶店，高价 / 低价利润：

A \ B	高价	低价
高价	(5000, 5000)	(1000, 6000)
低价	(6000, 1000)	(3000, 3000)

纳什均衡：(低价, 低价)。都高价利润更高，但需要合谋/信任，现实中容易演变为价格战。

早餐协调：A 喜欢中餐、B 喜欢西餐，但更希望一起吃（各自偏好 2 分、选对方偏好 1 分、一起用餐额外 +3）：

A \ B	中餐	西餐
中餐	(5, 4)	(2, 2)
西餐	(1, 1)	(4, 5)

两个纯策略纳什均衡 (中, 中) 和 (西, 西)，是典型的协调博弈 (coordination game)，需要事先沟通。

教室座位：前排学习好但被监督，后排自由但效果差：

A \ B	前排	后排
前排	(3, 3)	(2, 4)
后排	(4, 2)	(1, 1)

无纯策略纳什均衡；混合策略均衡为双方各以 $1/2$ 概率选前排/后排，期望收益 $2.5$。

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决策论

Ref: 8_1_概率与随机系统建模_对策论与决策论.pdf

基本概念与分类

决策论：为达到预期目的，从多个可行方案中选取最好或满意方案的学科。

• 确定型决策：状态唯一 $\Theta =\{\theta \}$，结果可预测（又分静态/动态）
• 风险型决策：状态概率 $P(\theta )$ 已知
• 不确定型决策：状态概率未知（又分静态/动态）

风险型与不确定型统称随机型决策，特点是后果的不确定性 + 后果的效用表示。

核心要素：行动 $a\in A$，状态 $\theta \in \Theta$，结果 $c(a,\theta )$，效用 $u(c(a,\theta ))$。

三大决策环境与准则

决策环境	特征	决策准则
确定型	状态唯一、结果可预测	${\max }_{a}u(c(a))$
风险型	状态概率已知	期望效用最大化 ${\max }_a{\sum }_{\theta }P(\theta )u(c(a,\theta ))$
不确定型	状态概率未知	最大最小 / 最小最大遗憾 / 乐观准则

准则	数学表达	适用人群
期望效用最大化	$\underset{a}{\max }\sum _{\theta }P(\theta )u(c(a,\theta ))$	风险决策
最大最小 (maximin)	$\underset{a}{\max }\underset{\theta }{\min }u(c(a,\theta ))$	保守决策者
最小最大遗憾 (minimax regret)	$\underset{a}{\min }\underset{\theta }{\max }[\underset{a^{\prime }}{\max }u(c(a^{\prime },\theta ))-u(c(a,\theta ))]$	避免后悔
乐观准则 (maximax)	$\underset{a}{\max }\underset{\theta }{\max }u(c(a,\theta ))$	激进决策者

遗憾值例：最优结果效用 100，选择 $a$ 在 $\theta$ 下效用 80 → 遗憾值 20。

决策树分析

开发新产品：研发成功 (0.6) 收益 500 万美元，失败 (0.4) 损失 100 万美元，放弃则收益 0：

$$E[u]=0.6\times 500+0.4\times (-100)=260\text{ 万}>0\Rightarrow \text{选择开发}$$

graph TD
    A["决策：是否开发"] --> B["开发"]
    A --> C["放弃：收益 0"]
    B --> D{"研发结果"}
    D -->|"成功 (0.6)"| E["收益 500 万"]
    D -->|"失败 (0.4)"| F["损失 100 万"]

效用函数与风险态度

风险态度	判定	例子
风险厌恶 (risk-averse)	$u^{\prime \prime }(w)<0$	$u(w)=\ln w$
风险中性 (risk-neutral)	$u^{\prime \prime }(w)=0$	$u(w)=kw$
风险偏好 (risk-loving)	$u^{\prime \prime }(w)>0$	$u(w)=w^2$

• 确定性等价 (certainty equivalent)：$CE=u^{-1}(E[u])$
• 风险溢价 (risk premium)：$RP=E[X]-CE$，风险厌恶者 $RP>0$

例：彩票期望值 $=0.5\times 1000+0.5\times 0=500$，风险厌恶者可能只愿以 400 美元的价格出售（即 $CE<E[X]$）。

信息价值与贝叶斯决策

完全信息期望值 (EVPI)：

$$EVPI=E\left[\underset{a}{\max }u(a,\theta )\right]-\underset{a}{\max }E\left[u(a,\theta )\right]$$

市场调研花费 $\le EVPI$ 时值得购买信息。贝叶斯更新：

$$P(\theta |x)=\frac{P(x|\theta )P(\theta )}{P(x)}$$

应用领域

商业决策（投资分析、产品开发）、医疗诊断（治疗方案选择）、公共政策（灾害应对、资源分配）、日常生活（职业选择、消费决策）。

课堂习题

雨天带伞：下雨概率 40%，带伞成本 $-2$，淋雨损失 $-10$：

• 带伞期望效用：$-2$
• 不带伞期望效用：$0.4\times (-10)+0.6\times 0=-4$

→ 选择带伞。临界概率：$-10p=-2\Rightarrow p=20\%$，即下雨概率超过 20% 就应带伞。

抽奖选择：A：100% 得 400；B：50% 得 1000 / 50% 得 0，效用函数 $u(x)=\sqrt{x}$：

• 期望货币值：$E[X_A]=400$，$E[X_B]=500$
• 期望效用：$E[u_A]=20$，$E[u_B]=0.5\sqrt{1000}\approx 15.8$
• 理性选择 A（风险厌恶下期望效用更高）
• 抽奖 B 的确定性等价 $CE=u^{-1}(E[u_B])\approx 15.8^2\approx 250$，风险溢价 $RP=500-250=250$

总结

决策的本质：在不确定环境中，基于偏好（效用函数）和信息（概率），选择最大化期望效用的行动。

Footnotes

1. Erlang, A.K. 1909 年研究哥本哈根电话交换系统，提出 Erlang B/C 公式。 ↩

2. Kingman, J.F.C. (1961). The single server queue in heavy traffic. Proc. Camb. Phil. Soc. ↩